河南省鄧州市2012-2013學(xué)年八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、（每小題3分，共24分）請把唯一正確答案的代號填入題后的括號內(nèi)．
1．（3分）（2011•日照）（?2）2的算術(shù)平方根是（ �。�
A．2B．±2C．?2D．
考點(diǎn)：算術(shù)平方根；有理數(shù)的乘方．.
分析：首先求得（?2）2的值，然后由4的算術(shù)平方根為2，即可求得答案．
解答：解：∵（?2）2=4，4的算術(shù)平方根為2，
∴（?2）2的算術(shù)平方根是2．
故選A．
點(diǎn)評：此題考查了平方與算術(shù)平方根的定義．題目比較簡單，解題要細(xì)心．
2．（3分）（2011•揚(yáng)州）下列計(jì)算正確的是（ �。�
A．a(chǎn)2•a3=a6B．（a+b）（a?2b）=a2?2b2C．（ab3）2=a2b6D．5a?2a=3
考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的；冪的乘方與積的乘方．.
分析：根據(jù)同底數(shù)冪的法則：底數(shù)不變，指數(shù)相加；多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，可表示為（a+b）（+n）=a+an+b+bn；積的乘方：等于把積的每一個(gè)因式分別乘方再把所得的冪相乘；合并同類項(xiàng)：只把系數(shù)相加，字母部分完全不變，一個(gè)個(gè)計(jì)算篩選，即可得到答案．
解答：解：A、a2•a3=a 2+3=a5，故此選項(xiàng)錯誤；
B、（a+b）（a?2b）=a•a?a•2b+b•a?b•2b=a2?2ab+ab?2b2=a2?ab?2b2．故此選項(xiàng)錯誤；
C、（ab3）2=a2•（b3）2=a2b6，故此選項(xiàng)正確；
D、5a?2a=（5?2）a=3a，故此選項(xiàng)錯誤．
故選C．
點(diǎn)評：本題主要考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，合并同類項(xiàng)的法則，注意正確把握每一種運(yùn)算的法則，不要混淆．
3．（3分）下列說法：
①有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)；
②不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)；
③ 大于3；
④? 是17的平方根，
其中正期的是（ �。�
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
考點(diǎn)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸；平方根；實(shí)數(shù)大小比較．.
分析：實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，有理數(shù)是指有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，2＜ ＜3，17的平方根有兩個(gè) 和? ，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可．
解答：解：∵實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，∴①錯誤；
∵如π是無理數(shù)，不是有理數(shù)，∴②錯誤；
∵ ＜3，∴③錯誤；
∵? 是17的一個(gè)平方根，∴④正確；
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了實(shí)數(shù)和數(shù)軸，有理數(shù)，平方根等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力．
4．（3分）（2011•蘇州）若•23=26，則等于（ �。�
A．2B．4C．6D．8
考點(diǎn)：同底數(shù)冪的除法．.
專題：．
分析：根據(jù)乘除法的關(guān)系，把等式變形，根據(jù)同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減．
解答：解；=26÷23=2 6?3=23=8，
故選：D，
點(diǎn)評：此題主要考查了同底數(shù)冪的除法，題目比較基礎(chǔ)，一定要記準(zhǔn)法則才能做題．
5．（3分）如（x+）與（x+3）的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則的值為（ �。�
A．?3B．3C．0D．1
考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．.
分析：先用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開求它們的積，并且把看作常數(shù)合并關(guān)于x的同類項(xiàng)，令x的系數(shù)為0，得出關(guān)于的方程，求出的值．
解答：解：∵（x+）（x+3）=x2+3x+x+3=x2+（3+）x+3，
又∵乘積中不含x的一次項(xiàng)，
∴3+=0，
解得=?3．
故選A．
點(diǎn)評：本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，根據(jù)乘積中不含哪一項(xiàng)，則哪一項(xiàng)的系數(shù)等于0列式是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）直角三角形兩直角邊分別為5、12，則這個(gè)直角三角形斜邊上的高為（ �。�
A．6B．8.5C． D．
考點(diǎn)：勾股定理；三角形的面積．.
分析：本題可先用勾股定理求出斜邊長，然后再根據(jù)直角三角形面積的兩種公式求解即可．
解答：解：由勾股定理可得：斜邊長2=52+122，
則斜邊長=13，
直角三角形面積S= ×5×12= ×13×斜邊的高，
可得：斜邊的高= ，
故選D．
點(diǎn)評：本題考查勾股定理及直角三角形面積公式的綜合運(yùn)用，看清題中條件即可．
7．（3分）三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個(gè)三角形是（ ）
A．等邊三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．銳角三角形
考點(diǎn)：勾股定理的逆定理．.
分析：對等式進(jìn)行整理，再判斷其形狀．
解答：解：化簡（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故選C．
點(diǎn)評：本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．
8．（3分）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股方圓圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），如果大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別是a和b，那么（a+b）2的值為（ �。�
A．49B．25C．13D．1
考點(diǎn)：勾股定理．.
分析：根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理，結(jié)合圖形進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)：大正方形的面積即直角三角形斜邊的平方25，也就是兩條直角邊的平方和是25，四個(gè)直角三角形的面積和是大正方形的面積減去小正方形的面積即2ab=24．根據(jù)完全平方公式即可求解．
解答：解：∵大正方形的面積25，小正方形的面積是1，
∴四個(gè)直角三角形的面積和是25?1=24，即4× ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
∴（a+b）2=25+24=49．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意完全平方公式的展開：（a+b）2=a2+b2+2ab，還要注意圖形的面積和a，b之間的關(guān)系．
二、題（每小題3分，共21分）
9．（3分） = ?4�。�
考點(diǎn)：立方根．.
專題：．
分析：誰的立方等于?64，誰就是?64的立方根．
解答：解：∵（?4）3=?64，
∴ =?4，
故答案為?4，
點(diǎn)評：本題考查了立方根的定義，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．
10．（3分）計(jì)算： = ．
考點(diǎn)：同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．.
分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘法得出（ ）2011× ×（ ）2011÷1，根據(jù)積的乘方得出（ × ）2011× ，求出即可．
解答：解：原式=（ ）2011× ×（ ）2011÷1
=（ × ）2011×
=1×
= ，
故答案為： ．
點(diǎn)評：本題考查了同底數(shù)冪的乘法，積的乘方的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．
11．（3分）已知：a+b=5，ab=1，則a2+b2= 23 ．
考點(diǎn)：完全平方公式．.
分析：根據(jù)完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2?2ab，代入求出即可．
解答：解：∵a+b=5，ab=1，
∴a2+b2=（a+b）2?2ab=52?2×1=23，
故答案為：23．
點(diǎn)評：本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，注意：a2+b2=（a+b）2?2ab，用了整體代入思想．
12．（3分）（2012•張家口一模）如圖，從邊長為（a+4）c的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為（a+1）c的正方形（a＞0），剩余部分沿虛線又剪拼成一個(gè)矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為 （6a+15）c2�。�
考點(diǎn)：圖形的剪拼．.
專題：壓軸題．
分析：利用大正方形的面積減去小正方形的面積即可，注意完全平方公式的計(jì)算．
解答：解：矩形的面積為：
（a+4）2?（a+1）2
=（a2+8a+16）?（a2+2a+1）
=a2+8a+16?a2?2a?1
=6a+15．
故答案為：（6a+15）c2，
點(diǎn)評：此題考查了圖形的剪拼，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出式子，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，要熟記公式．
13．（3分）（2011•荊門）已知A=2x，B是多項(xiàng)式，在計(jì)算B+A時(shí)，小馬虎同學(xué)把B+A看成了B÷A，結(jié)果得x2+ x，則B+A= 2x3+x2+2x�。�
考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算．.
專題：計(jì)算題．
分析：根據(jù)乘除法的互逆性首先求出B，然后再計(jì)算B+A．
解答：解：∵B÷A=x2+ x，
∴B=（x2+ x）•2x=2x3+x2．
∴B+A=2x3+x2+2x，
故答案為：2x3+x2+2x，
點(diǎn)評：此題主要考查了整式的乘法，以及整式的加法，題目比較基礎(chǔ)，基本計(jì)算是考試的重點(diǎn)．
14．（3分）（2009•湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2，則S1+S2等于 2π�。�
考點(diǎn)：勾股定理．.
分析：根據(jù)半圓面積公式結(jié)合勾股定理，知S1+S2等于以斜邊為直徑的半圓面積．
解答：解：S1= πAC2，S2= πBC2，
所以S1+S2= π（AC2+BC2）= πAB2=2π．
故答案為：2π．
點(diǎn)評：此題根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理證明：以直角三角形的兩條直角邊為直徑的半圓面積和等于以斜邊為直徑的半圓面積，重在驗(yàn)證勾股定理．
15．（3分）（2002•太原）將一根長24c的筷子，置于底面直徑為5c，高為12c的圓柱形水杯中（如圖）．設(shè)筷子露在杯子外面的長為hc，則h的取值范圍是 11≤h≤12�。�
考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用．.
專題：；壓軸題．
分析：觀察圖形，找出圖中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
解答：解：首先根據(jù)圓柱的高，知筷子在杯內(nèi)的最小長度是12c，則在杯外的最大長度是24?12=12；
再根據(jù)勾股定理求得筷子在杯內(nèi)的最大長度是（如圖）AC= = =13，則在杯外的最小長度是24?13=11c．
所以h的取值范圍是11≤h≤12．
故答案為：11≤h≤12．
點(diǎn)評：注意此題要求的是筷子露在杯外的取值范圍．主要是根據(jù)勾股定理求出筷子在杯內(nèi)的最大長度．
三、解答題（本大題8個(gè)小題，共75分）
16．（9分）分解因式．
（1）9a?ab2
（2）3x3?6x2y+3xy2
（3）a2（2a?3）+b2（3?2a）
考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．.
分析：（1）首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先提取公因式3a，再利用完全公式分解因式得出即可；
（3）首先提取公因式（2a?3），再利用平方差公式分解因式得出即可．
解答：解：（1）9a?ab2=a（9?b2）=a（3+b）（3?b）；
（2）3x3?6x2y+3xy2=3x（x2?2xy+y2）=3x（x?y）2；
（3）a2（2a?3）+b2（3?2a）
=（2a?3）（a2?b2）
=（2a?3）（a+b）（a?b）．
點(diǎn)評：此題主要考查了提取公因式與公式法分解因式，熟練掌握分解因式的步驟是解題關(guān)鍵．
17．（10分）計(jì)算題
（1）
（2）運(yùn)用簡便方法計(jì)算：2003×99?27×11．
考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算．.
分析：（1）先分別根據(jù)數(shù)的開方法則、絕對值的性質(zhì)及有理數(shù)乘方的法則計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：（1）原式=9?3+25+ ?1?
=30；
（2）原式=2003×（100?1）?27×（10+1）
=200300?2003?270?27
=198000．
點(diǎn)評：本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知數(shù)的開方法則、絕對值的性質(zhì)及有理數(shù)乘方的法則是解答此題的關(guān)鍵．
18．（10分）（1）計(jì)算[（?3x2y）2•2xy?x2•（2xy）3•3y]÷6xy
（2）先化簡再求值．（2a+b）（2a?b）+b（2a+b）?4a2b÷b．其中a= ，b=2．
考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算—化簡求值；整式的混合運(yùn)算．.
分析：（1）首先計(jì)算乘方，然后進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后進(jìn)行除法即可；
（2）首先利用平方差公式計(jì)算多項(xiàng)式的乘法，計(jì)算單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，單項(xiàng)式的除法，然后合并同類項(xiàng)，最后代入數(shù)值計(jì)算．
解答：解：（1）原式=（9x4•2xy?x2•8x3y3•3y）÷6xy
=（18x5y?24x5y4）÷6xy
=3x4?4x4y3；
（2）原式=（4a4?b2）+2ab+b2?4a2
=2ab，
當(dāng)a=? ，b=2時(shí)，原式=?2．
點(diǎn)評：本題考查的是整式的混合運(yùn)算，主要考查了公式法、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘以及合并同類項(xiàng)的知識點(diǎn)．
19．（9分）（2011•益陽）觀察下列算式：
①1×3?22=3?4=?1
②2×4?32=8?9=?1
③3×5?42=15?16=?1
④ 4×6?52=24?25=?1
…
（1）請你按以上規(guī)律寫出第4個(gè)算式；
（2）把這個(gè)規(guī)律用含字母的式子表示出來；
（3）你認(rèn)為（2）中所寫出的式子一定成立嗎？并說明理由．
考點(diǎn)：整式的混合運(yùn)算．.
專題：規(guī)律型．
分析：（1）根據(jù)①②③的算式中，變與不變的部分，找出規(guī)律，寫出新的算式；
（2）將（1）中，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，由特殊到一般，得出結(jié)論；
（3）一定成立．利用整式的混合運(yùn)算方法加以證明．
解答：解：（1）第4個(gè)算式為：4×6?52=24?25=?1；（2分）
（2）答案不唯一．如n（n+2）?（n+1）2=?1；（5分）
（3）一定成立．
理由：n（n+2）?（n+1）2=n2+2n?（n2+2n+1）（7分）
=n2+2n?n2?2n?1=?1．（8分）
故n（n+2）?（n+1）2=?1成立．
故答案為：4×6?52=24?25=?1．
點(diǎn)評：本題是規(guī)律型題，考查了整式的混合運(yùn)算的運(yùn)用．關(guān)鍵是由特殊到一般，得出一般規(guī)律，運(yùn)用整式的運(yùn)算進(jìn)行檢驗(yàn)．
20．（8分）如圖，AB=4，BC=3，CD=13，AD=12，∠B=90°，求四邊形ABCD的面積．
考點(diǎn)：勾股定理；勾股定理的逆定理．.
分析：在Rt△ABC中可得直線AC的長，進(jìn)而得出△ACD也為直角三角形，可求解其面積．
解答：解：在Rt△ABC中，AC= ．
又因?yàn)?2+122=132，
即AD2+AC2=CD2．
所以∠DAC=90°．
所以 =6+30=36．
點(diǎn)評：熟練掌握勾股定理的運(yùn)用，能夠運(yùn)用勾股定理求解一些簡單的計(jì)算問題．
21．（8分）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6c，BC=8c，若將AC沿AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長．
考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）．.
分析：先根據(jù)勾股定理求出AB的長，設(shè)CD=xc，則BD=（8?x）c，再由圖形翻折變換的性質(zhì)可知AE=AC=6c，DE=CD=xc，進(jìn)而可得出BE的長，在Rt△BDE中利用勾股定理即可求出x的值，即可得出CD的長．
解答：解：∵△ABC是直角三角形，AC=6c，BC=8c，
∴AB= = =10（c），
∵△AED是△ACD翻折而成，
∴AE=AC=6c，∠AED=90°，
設(shè)DE=CD=xc，
∴BE=AB?AE=10?6=4（c），
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，
即（8?x）2=42+x2，
解得：x=3．
故CD的長為3c．
點(diǎn)評：本題考查了折疊的性質(zhì)和勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是理解折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
22．（10分）（2011•綿陽）王偉準(zhǔn)備用一段長30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔．已知第一條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米．
（1）請用a表示第三條邊長；
（2）問第一條邊長可以為7米嗎？請說明理由，并求出a的取值范圍；
（3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數(shù)？若能，說明你的圍法；若不能，說明理由．
考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用；三角形三邊關(guān)系；勾股定理的逆定理．.
專題：．
分析：（1）本題需先表示出第二條邊長，即可得出第三條邊長．
（2）本題需先求出三邊的長，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出不等式組，即可求出a的取值范圍．
（3）本題需先求出a的值，然后即可得出三角形的三邊長．
解答：解：（1）∵第二條邊長為2a+2，
∴第三條邊長為30?a?（2a+2）
=28?3a．
（2）當(dāng)a=7時(shí)，三邊長分別為7，16，7，
由于7+7＜16，所以不能構(gòu)成三角形，即第一條邊長不能為7米，
當(dāng)2a+2＞28?3a，即a＞ 時(shí)，
28?3a+a＞2a+2，
a＜ ，
則a的取值范圍是； ，
當(dāng)2a+2＜28?3a，即a＜ 時(shí)，
2a+2+a＞28?3a，
a＞ ，
則a的取值范圍是： ．
（3）在（2）的條件下，注意到a為整數(shù)，所以a只能取5或6．
當(dāng)a=5時(shí)，三角形的三邊長分別為5，12，13．由52+122=132知，恰好能構(gòu)成直角三角形．
當(dāng)a=6時(shí)，三角形的三邊長分別為6，14，10．由62+102≠142知，此時(shí)不能構(gòu)成直角三角形．
綜上所述，能圍成滿足條件的小圈，它們的三邊長分別為5米，12米，13米．
點(diǎn)評：本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，在解題時(shí)要能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，列出不等式組是本題的關(guān)鍵．
23．（11分）（2009•雞西）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6，8．現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長．（圖2，圖3備用）
考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用．.
專題：應(yīng)用題；分類討論．
分析：根據(jù)題意畫出圖形，構(gòu)造出等腰三角形，根據(jù)等腰三角形及直角三角形的性質(zhì)利用勾股定理解答．
解答：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6
由勾股定理有：AB=10，應(yīng)分以下三種情況：
①如圖1，當(dāng)AB=AD=10時(shí)，
∵AC⊥BD，
∴CD=CB=6，
∴△ABD的周長=10+10+2×6=32．
②如圖2，當(dāng)AB=BD=10時(shí)，
∵BC=6，
∴CD=10?6=4，
∴AD= = = ，
∴△ABD的周長=10+10+4 =（20+ ）．
③如圖3，當(dāng)AB為底時(shí)，設(shè)AD=BD=x，則CD=x?6，由勾股定理得：AD= = =x，
解得，x=
∴△ABD的周長為：AD+BD+AB= + +10= ．
點(diǎn)評：本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，在解答此題時(shí)要注意分三種情況討論，不要漏解．
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