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五種基本圖形在解題中的應(yīng)用
    初中幾何中有許多基本圖形，這些基本圖形與其它知識點組合在一起，共同演繹著變化無窮的幾何綜合性問題.解決這類問題，一般要分離或者構(gòu) 造 出基本圖形，然后應(yīng)用基本圖形的性質(zhì)及相關(guān)結(jié) 論解決問題.本文 介紹常見的五種基本圖形及其應(yīng)用，供大家參考.
    基本圖形1  如圖1所示， 是圓內(nèi)接三角形，直線 經(jīng)過點 .
    結(jié)論1  若 ( )，則直線 與圓 相切.
    結(jié)論2  若 ( )，則直線 與圓 相切.
應(yīng)用1  如圖2， 是⊙ 的直徑， 、 分別是 的角平分線與⊙ 、 的交點， 為直線 延長線上一點，且 .判斷直線 與⊙ 的位置關(guān)系，并說明理由.
 
    分析  本題考察了角平分線、三角形的外角、等腰三角形、圓周角定理等相關(guān)知識點問題的突破口在于能否識別弦切角基本模型，即 ，問題就轉(zhuǎn)化為結(jié)論1.
    基本圖形2  如圖3所示， ，則 ， .
    這是相似三角形常見的基本圖形，反映的是部分與整體相似，兩個三角形擁有一個公共角，只要再找出一組對應(yīng)角相等即可，利用相似三角形對應(yīng)線段成比例，進而化成等積的形式即可.
 
    應(yīng)用1  如圖4 ， 與圓 相切，切點為 ，連結(jié) 并延長，與圓 交于點 、 ，連結(jié) ， ，求證:
    (1 ) ;
    (2)若 ， ，求圓 的半徑及 .
    分析  這是一道圓與相似三角形的綜合題.已知圓 與 相切，連結(jié) ，則 ，再加上 ，可得 ，證得 ，問題就還原成題目1.問題(2)利用(1)結(jié)論，可建立一元二次方 程求出半徑.
    應(yīng)用2  如圖5，直線 經(jīng)過圓 上的點，并且 ， ，圓 交直線 于點 、 ，連結(jié) ， .
    (1)猜想直線 與圓 的位置關(guān)系，并說明理由;
    (2)求證 ， ;
(3)若 ，圓 的半徑為3，求  的面積.
 
    分析  這是一道涉及等腰三角形、直線與圓的位置關(guān)系、相似三角形、三角函數(shù)值等多個知識點的幾何綜合題.(1)利用等腰三角形的三線合一證得 ;(2)屬于題目1的簡單變形;(3)求 的面積，關(guān)鍵在于求 的長度，難點在于如何利用 這個條件.在 中 ， ，即 .觀察發(fā)現(xiàn)，由 ，可得到 ，即 ;然后利用第(2)的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為方程求解問題，進而求出 、 的長，問題就迎刃而解了.
    基本圖形3
    1.如圖6，已知 ， ， 過點 ，且 ， ，垂足分別為 、 ，則 ， .
 
2. 如圖7，已知 ， ，則 ， .
 
    應(yīng)用  如圖8，拋物線 ，點 在拋物線上，點 在直線 上， 能否成為以點 為直角頂點的等腰直角三角形?若 能，求出點 的坐標;若不能，請說明理由.
    分析  過點 作 軸， 直線 ，垂足分別為 ， ， .當(dāng) ， 時， 是以點 為直角頂點的等腰直角三角形.這是解決問題的突破口，通過構(gòu)造“ ”型全等形，使得幾何問題代數(shù)化.
    基本圖形4
    如圖9，已知，在 中， ，過點 作 ，點 作 ，則 ， .
 
    應(yīng)用1如圖10，在正方形 中，以對角線 為邊作菱形  ，使得 ， ， 三點在同一條直線上，連結(jié) 交 于點 .求證: .
    分析  連結(jié) 交 于點 ，問題就還原成基本圖形，證 即可.
    應(yīng)用2   如圖1l，已知在平行四邊形 中， ， 于 ， 于 ， 、 交于 ， 、 的延長線交于 .有下列結(jié)論:
① ;② ;③ .其中正確的是        .
 
    分析  本題以全等三角形為載體，融入平行四邊形、勾股定理等相關(guān)知識，注重對基礎(chǔ)知識、基本技能的考查.
    ①②正確，由 及平行四邊形的性質(zhì)，得到 ， ，所以 .
③正確，
 
 
 .
    基本圖形5
    如圖12，在正方形 中，點 、 分別在 、 上， 、 交于點 .
    結(jié)論1  若 ，則 (或 或 ).
    結(jié)論2  若 (或 或 )，則 .
 
    應(yīng)用  如圖13所示，將圖12中 、 平移至 、 ，上述 結(jié)論依然成立.
    老子在《道德經(jīng)》里寫道:“天下難事，必作于易;天下大 事，必作于細”.數(shù)學(xué)問題的解 決過程亦是如此，將 復(fù)雜問題簡單化，一步步將未知問題轉(zhuǎn)化到已知范圍.在求解幾何問題時，就是要通過觀察、類比、聯(lián)想，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單的基本圖形問題，就能容易獲解.
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