一、初中學(xué)生在邏輯推理中的思維誤區(qū)
學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)是以認(rèn)識(shí)和發(fā)展平面幾何知識(shí)為目的的一種思維活動(dòng)，在這個(gè)過程中，學(xué)生將思維建立在幾何概念和定理的基礎(chǔ)上進(jìn)行邏輯推理，然而推理的過程并不是一帆風(fēng)順的，學(xué)生解題過程中會(huì)暴露出思維上的誤區(qū)，嚴(yán)重影響學(xué)生邏輯思維能力的健康發(fā)展．幾何的推理論證要求一環(huán)扣一環(huán)，步步有據(jù)．但某些學(xué)生在進(jìn)行幾何證明時(shí)，由于邏輯思維往往不夠縝密，致使他們的推理過程漏洞百出，歸納起來他們?cè)谶M(jìn)行邏輯推理的過程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)以下幾種思維上的誤區(qū)．
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所謂“移花接木”指的是推導(dǎo)出的結(jié)論與條件不相符，它是根據(jù)學(xué)生的需要生拉硬拽得出的結(jié)論，這種錯(cuò)誤常常出現(xiàn)在全等三角形證明的過程中．這種錯(cuò)誤不是學(xué)生的有意行為，而是一種無意行為，是他們沒有意識(shí)到自己在思維上的一個(gè)誤區(qū)．
案例一、如圖（1），已知在矩形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，
BE⊥AC于E，CF⊥BD于F．
圖（1）
求證：BE=CF．
有個(gè)學(xué)生的解答是：在矩形ABCD中，AB=DC．∵AC與BD是矩形ABCD的對(duì)角線，∴OA=OC，OB=OD．∴△AOB≌△COD．∴∠BAO=∠CDO．又∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEA=∠CFD．
在△ABE與△DCF中，∵∠BAO=∠CDO，∠BEA=∠CFD，AB=DC，∴△ABE≌△DCF．∴BE=CF．
他在得到△AOB≌△COD后，誤認(rèn)為A點(diǎn)與D點(diǎn)對(duì)應(yīng)，B點(diǎn)與C點(diǎn)對(duì)應(yīng)，從而得到∠BAO=∠CDO，在不知不覺中實(shí)行了移花接木，在他的思維當(dāng)中，他認(rèn)為∠BAO=∠CDO是很自然、正確的，卻沒有認(rèn)真思考這兩個(gè)角是否是對(duì)應(yīng)角．筆者認(rèn)為出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因固然與他的基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)有關(guān)，同時(shí)也與他的嘻嘻哈哈、不注重細(xì)節(jié)的性格有關(guān)．
（二）無中生有
“無中生有”指的是學(xué)生在答題的過程中，常常根據(jù)答題的需要，自己杜撰定理或條件．有些學(xué)生將看起來成立的但未經(jīng)證明的結(jié)論或者某些定理的逆命題理所當(dāng)然地認(rèn)為是定理，而不假思索地應(yīng)用到證明當(dāng)中，有時(shí)也會(huì)根據(jù)圖形的形狀以及自己的需要杜撰條件．
案例二、如圖（2），在四邊形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E，求證：四邊形AECD是菱形．
某些學(xué)生的證明過程是：連結(jié)ED交AC于點(diǎn)F，
圖（2）
∵AB∥CD，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AC與ED互相平分，∴AF為DE的中線，又∵AC為∠BAD的平分線，∴△ADE是等腰三角形，∴AD=AE，∴□ADCE是菱形．
證明過程中，他們理所當(dāng)然地認(rèn)為“等腰三角形的三線合一”會(huì)有一個(gè)逆定理，即：如果三角形中一個(gè)角的角平分線是對(duì)邊的中線，則這個(gè)三角形是等腰三角形．基于這個(gè)考慮，她認(rèn)為AF既是ED的中線又是頂角的平分線，所以△ADE是等腰三角形，在這里，這些同學(xué)不由自主地犯了杜撰定理的錯(cuò)誤．
�。ㄈ┩皥D”生義
望“圖”生義就是學(xué)生根據(jù)圖形主觀認(rèn)定某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的存在，主要表現(xiàn)在習(xí)題的已知條件中并不存在的數(shù)學(xué)對(duì)象，而在圖形中看起來象存在這種數(shù)學(xué)對(duì)象，而證明過程中恰好又可以使用，于是就順理成章地被學(xué)生拿過來作為條件或結(jié)論加以使用．
案例三、如圖（3），已知正方形ABCD在直線MN的上方，BC在直線MN上，E是BC上的一點(diǎn)，以AE為邊在直線MN的上方作正方形AEFG，連接GD，求證：△ADG≌△ABE．
圖（3）
相當(dāng)多學(xué)生的證明是：∵四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG．且∠ABE=∠ADC=90?/SPAN>，∴∠ADG=90?/SPAN>，∴△GDA與△ABE都是直角三角形．
在Rt△ADG與Rt△ABE中，AE=AG，AB=AD．∴△ADG≌△ABE（HL）．
在這里，他們沒有注意到題中的“連接GD”的含義意謂著C、D、G三點(diǎn)可能不在同一直線上，這些學(xué)生僅是根據(jù)圖形的形狀就主觀臆測(cè)得出∠ADG=90?/SPAN>，因而錯(cuò)誤地運(yùn)用“HL”定理證明了△ADG≌△ABE．
（四）“思”無反顧
“思”無反顧指的某些學(xué)生善于從正面入手解題，但不善于使用逆向思維進(jìn)行邏輯分析．邏輯思維具有多向性，它不僅可以正向思維，也可以逆向思維．在證明題中，如果從條件出發(fā)很難直接得到結(jié)論，我們可以采用逆向思維，從結(jié)論出發(fā)，采取倒推的方法，逐步分析．在存在性探索題中，如果要探索的這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象憑直覺無法猜出，也可以先假設(shè)這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已經(jīng)存在，同樣地從結(jié)論出發(fā)，采用逆向思維向上回溯，逐步分析，最后得出所需要的數(shù)學(xué)對(duì)象．由于這類題要求的思維度比較高、難度較大，不善于使用逆向思維方法進(jìn)行思考的同學(xué)往往會(huì)感到束手無策．
圖（4）
案例四、如圖（4），將一張矩形紙片ABCD（AD>AB）折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連接AF和CE．在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=AC·AP？若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．
某女生在解答這道題時(shí)，在嘗試著猜測(cè)幾個(gè)特殊點(diǎn)無果以后，認(rèn)為AC上不存在這樣的P點(diǎn)．老師提示她，能否采用逆向思維進(jìn)行分析，先假設(shè)這個(gè)P點(diǎn)已經(jīng)找到，再將2AE2=AC·AP中的數(shù)學(xué)“2”化去，然后化為比例式再求解．她順著這條思路將2AE2=AC·AP轉(zhuǎn)化為AE2=OA·AP，再化為，她發(fā)現(xiàn)，AE與OA分別是Rt△AOE的斜邊與直角邊，對(duì)應(yīng)地，AP、AE也應(yīng)分別為Rt△AEP的斜邊、直角邊，因此，只要過E點(diǎn)作AD的垂線交AC于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是要尋找的P點(diǎn)，問題迎刃而解．
仔細(xì)分析這位女生的思維軌跡不難發(fā)現(xiàn)，她還沒有形成較系統(tǒng)的逆向思維的意識(shí)與習(xí)慣，因此，她只會(huì)采用正向思考并猜測(cè)的方法來解題，當(dāng)要找到的點(diǎn)不是已知的幾個(gè)特殊點(diǎn)之外，其結(jié)果可想而知．
在幾何學(xué)習(xí)過程中，某些學(xué)生除了上述思維上的誤區(qū)以外，還存在著：證明過程中的“因?yàn)�、所以”的上下語句之間不存在因果關(guān)系，濫用同理可證等一些似是而非的證明，稍不留神，就有可能被這個(gè)證明蒙混過關(guān)，給他將來的學(xué)習(xí)埋下隱患．
二、學(xué)生在數(shù)學(xué)思想方法的使用中的思維誤區(qū)
（一）不能正確使用分類討論的數(shù)學(xué)思想
分類討論的思想方法是人們認(rèn)識(shí)客觀世界過程中長(zhǎng)期積累形成的一種策略思想．在數(shù)學(xué)中，我們常常需要根據(jù)研究對(duì)象性質(zhì)的差異，分各種不同情況進(jìn)行討論．這種分類思考的方法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是一種解題策略[1]．
在運(yùn)用分類討論思想時(shí)，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的問題有：（1）對(duì)于某些應(yīng)該討論的問題，因思維不嚴(yán)謹(jǐn)，發(fā)現(xiàn)不了可能出現(xiàn)的不同情況，想不到需要討論；（2）發(fā)現(xiàn)需要討論的問題時(shí)，劃分情況又難以做到不重不漏；（3）不善安排討論時(shí)機(jī)．
案例五、潘婧?同學(xué)是一個(gè)心無城府、性格豪爽的女生，做事風(fēng)風(fēng)火火，但完成的質(zhì)量不夠精細(xì)，作業(yè)本上書寫的文字也頗具男生特點(diǎn)，被同學(xué)戲稱為“山東大漢”．
例5、如圖（3），AB⊥BC，CD⊥BC，AB=2，CD=3，BC=7，在直線BC上求一點(diǎn)M，使△ABM∽△DCM．
圖（3） 圖（4）
她的解答是：如圖（4），點(diǎn)M是線段BC上的一點(diǎn)，設(shè)BM=x，則MC=7?x．∵△ABM∽△DCM，∴，解得x=.所以當(dāng)BM=cm時(shí)，點(diǎn)M為滿足條件的點(diǎn)．
在解答這道題時(shí)，她沒有認(rèn)真思考，只注意到點(diǎn)M在線段BC上，而忽視了題設(shè)條件中提到的點(diǎn)M是直線BC上的點(diǎn)，所以點(diǎn)M還可以在線段CB的延長(zhǎng)線上．在老師的提示下，她意識(shí)到應(yīng)該進(jìn)行分類討論．她將該題分成“點(diǎn)M在線段BC上與點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上”這兩種情況進(jìn)行了討論，從而得到了當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上且BM=cm或點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線且BM=14cm時(shí)，點(diǎn)M為滿足條件的點(diǎn)這一正確結(jié)論．
但通過這道題并沒有真正解決她在分類討論中存在的問題，有了分類的意識(shí)，并不意味著她就一定會(huì)進(jìn)行分類討論．
例6、如圖（5），在平面直角坐標(biāo)系中，等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．試在第一象限內(nèi)確定一點(diǎn)M，使與相似，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
圖（5）
在解答中，她意識(shí)到象這種找一個(gè)點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的習(xí)題應(yīng)該進(jìn)行分類討論．首先她直觀感覺到點(diǎn)C是要找的第一個(gè)M點(diǎn)，然后過B點(diǎn)作x軸的垂線，可以找到第二個(gè)M點(diǎn)，她的具體解答如下：
∵，∴OA=4，∠AOB=60?/I>．
又∵四邊形是等腰梯形，∴BC=OA=4，∠CBO=∠AOB=60?/I>．
連結(jié)OC，OB=BO，∴△COB≌△ABO，∴點(diǎn)C是第一個(gè)要找的M1（6，2）．
如圖（6），過B點(diǎn)作x軸的垂線交OA的延長(zhǎng)線于M，∴∠MBO=90?/I>．
∵BC=4，AC=4，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA．
∵AC∥OB，∴∠CAB=∠ABO，∴∠CBA=∠ABO．
圖（6）
又∵∠AOB=∠CBO=60?/I>，∴∠ABO=30?/I>，∠OAB=90?/I>．
∵∠AOB=∠BOM，∠OAB=∠MBO，∴△MOB∽△BOA，BM=OB·tan60?/I>=．∴M2（8，）．
綜上所述，在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)M（6，2）或M（8，），使與相似．
在解題過程中，她遺漏了第三種情況：M還可以是過B點(diǎn)的垂線與OC的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，究其原因，她只知道此題要進(jìn)行分類討論，但具體怎樣進(jìn)行分類討論，討論的標(biāo)準(zhǔn)是什么，她不得而知，只是機(jī)械地跟著感覺走．如果她按照相似的分類標(biāo)準(zhǔn)即根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的不同進(jìn)行分類，她可以發(fā)現(xiàn)共有6種不同的情況：①△MOB∽△AOB，②△MOB∽△BAO，③△MOB∽△OAB，④△MOB∽△ABO，⑤△MOB∽△BOA，⑥△MOB∽△OBA．其中第①種的M與A重合，第②③種的點(diǎn)M在y軸上，均不合題意，應(yīng)舍去．第④⑤種分別是已經(jīng)求出的M1與M2，剩下的第⑥種中的最后一個(gè)點(diǎn)M（8，）就不會(huì)被遺漏．
從這里我們可以看出，學(xué)生頭腦中分類討論概念的形成不是一蹴而就的，因此在教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)逐步給學(xué)生滲透分類討論的意識(shí)，在滲透分類討論思想的過程中，首要的是分類．教師要培養(yǎng)學(xué)生分類的意識(shí)，然后才能引導(dǎo)學(xué)生在分類的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論．在討論中要堅(jiān)持互斥、不漏、最簡(jiǎn)的原則，具體就是：（1）分類中的每一部分是相互獨(dú)立的；（2）一次分類按一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)；（3）分類討論應(yīng)逐級(jí)進(jìn)行．
（二）不能有效地借助類比思維方法
類比思維是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象在一系列屬性上相同或相似，由其中一個(gè)對(duì)象具有某種屬性推測(cè)出另一個(gè)對(duì)象也具有這種屬性的思維方法[3]．在數(shù)學(xué)上，它是一種非常重要的思想方法．很多探索題的解答如果能借助類比思維方法，就能起到觸類旁通的作用．
由于類比思維對(duì)學(xué)生的要求比較高，不少學(xué)生面對(duì)這種習(xí)題會(huì)選擇放棄，也有些學(xué)生會(huì)躍躍欲試，但由于不能有效地借助類比思維的方法進(jìn)行分析，往往會(huì)功虧一簣．
案例六、鄒駿程同學(xué)的思維比較活躍，喜歡挑戰(zhàn)一些有難度的試題，但由于他自制力比較差，控制不住自己思維的信馬由韁，在挑戰(zhàn)難題時(shí)，經(jīng)常會(huì)因?yàn)樗季S上的偏差、并且不善于借助類比思維的方法而前功盡棄．
例7、如圖（9），在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是DB、EC的中點(diǎn)．
�。�1）易證：△AFG∽△ABC，其相似比為：；
�。�2）若AB=AC，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖（10）的位置，判斷△AFG的形狀，并證明！
�。�3）若AB≠AC，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖（11）的位置，△AFG與△ABC有什么關(guān)系？說明理由！
圖（9） 圖（10） 圖（11）
他在順利解答出前兩問之后，在解答第（3）問時(shí)卡殼了，他也試圖類比第（2）問的解法來解決第（3）問，但在第（2）問中，由于AB=AC，AD=AE可以證明△ABD≌△ACE，從而得到AF=AG．而第（3）問顯然要復(fù)雜得多，由于AB≠AC，因此AD≠AE，因而不可能得到△ABD與△ACE全等．他只想到用類比的方法證明全等，卻沒有想到相似三角形判定定理其實(shí)是類比全等三角形的判定定理得到的，此題也可以類比第（2）問中全等的證明，得到第（3）問△ABD與△ACE相似，證明方法也同樣可以類比，第（2）問是用SAS證明△ABD≌△ACE，第（3）問可用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等”類比證明△ABD∽△ACE．
類比思維的教學(xué)應(yīng)從簡(jiǎn)單的類比入手，如：首先從結(jié)論與證明過程可以完全類比得出的習(xí)題著手，然后逐步過渡到結(jié)論可以完全類比得出，但證明過程有所差異，最后過渡到結(jié)論與證明過程可以部分類比得出，但差異逐步加大，只有在完成了一定量的類比思維練習(xí)以后，學(xué)生才會(huì)逐漸掌握這種類比思維的方法，摸到其中的脈絡(luò)，提高解題能力，使自己的思維能力更上一個(gè)臺(tái)階．
三、中考復(fù)習(xí)
由于學(xué)生思維不可能是統(tǒng)一的，他們對(duì)同一道證明題給出的證法是多種多樣的，其中不乏錯(cuò)誤的做法，但這些錯(cuò)誤是真實(shí)美麗的，可遇而不可求的，這就要求我們教師及時(shí)捕捉一些有用的信息，順勢(shì)利導(dǎo)，將這些信息轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源。針對(duì)這些思維誤區(qū)，我準(zhǔn)備在中考復(fù)習(xí)中采用了以下幾個(gè)步驟進(jìn)行矯治：
1、辨：將學(xué)生做的幾種不同的證法全部展示在全體學(xué)生面前，其中的錯(cuò)誤證法可能不只一種，由學(xué)生自己仔細(xì)辨別這些證法，給其中的錯(cuò)誤證法進(jìn)行糾錯(cuò)，這種做法可以提高學(xué)生的興趣，也可以提高學(xué)生的辨別正誤的能力．培養(yǎng)學(xué)生具有一雙慧眼，遠(yuǎn)比老師在辛辛苦苦地講授，學(xué)生昏昏欲睡地被動(dòng)接受的效果好得多．當(dāng)然，在辨別糾錯(cuò)的過程中，學(xué)生難免有誤判，這就給了我們進(jìn)行下一步的契機(jī)．
2、辯：俗話說：“理不辯不明”．很多學(xué)生知道某些幾何題的證法是錯(cuò)誤的，但只知其然卻不知其所以然，他們并沒有從思想深處真正理解邏輯推理的思想方法．因此，有必要讓學(xué)生參與到辯論當(dāng)中來，采用的形式可以是學(xué)生與學(xué)生進(jìn)行辯論，也可以是老師與學(xué)生進(jìn)行辯論。在辯論的過程中，讓學(xué)生在思維的碰撞中產(chǎn)生思想火花，產(chǎn)生解題的靈感，達(dá)到“理越辯越明”的目的，同時(shí)也可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，鍛煉學(xué)生的口頭表達(dá)能力．
3、變：在完成上述兩個(gè)步驟之后，可以讓多數(shù)同學(xué)明白邏輯推理中可能存在哪些誤區(qū)，使得他們免去誤入歧途的危險(xiǎn)．但這一招還不足以使所有的學(xué)生都能順利地掌握邏輯推理的精髓，需要反復(fù)訓(xùn)練，由此可以采用第三個(gè)步驟“變”．
教師可準(zhǔn)備多道變式練習(xí)，這些習(xí)題或者是改變了原題的條件，或者是改變了原題的結(jié)論，或者是改變了題型，如將證明題改編成開放題或改編成計(jì)算題或改編成探索題，總之，要讓學(xué)生在“變”的過程中領(lǐng)略到幾何證明題并不是一成不變的，它可以有多種變換形式，“變”可以起到舉一反三、融會(huì)貫通的作用，它對(duì)學(xué)生所學(xué)知識(shí)的掌握，技能的發(fā)展，分析問題、解決問題能力的提高，起著舉足輕重的作用．
4、遍：所謂“遍”指的是遍訪每一個(gè)學(xué)生，找出所有在經(jīng)歷上述三個(gè)步驟之后依然存在各種不同思維誤區(qū)的學(xué)生臨時(shí)組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組，在該學(xué)習(xí)小組中重復(fù)上述三個(gè)步驟，直到所有學(xué)生基本消除這一種類型習(xí)題在邏輯推理中的思維誤區(qū)為止．
對(duì)學(xué)生進(jìn)行邏輯思維能力的培養(yǎng)是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，某些學(xué)生初學(xué)證明時(shí)，看似掌握得挺快，實(shí)則漏洞百出，這就需要我們老師用自己的火眼金睛去細(xì)心地發(fā)現(xiàn)其中的漏洞，讓學(xué)生在交流中領(lǐng)悟，在思維的碰撞中自省，將學(xué)生的錯(cuò)誤消滅在萌芽狀態(tài)，切忌等到學(xué)生積重難返時(shí)再糾錯(cuò)．
解題過程中的思維誤區(qū)是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的相伴產(chǎn)物，是具有特殊教育作用的寶貴的教學(xué)資源，我們要善于尋找、開發(fā)、利用這些寶貴資源，讓學(xué)生在糾錯(cuò)、辯論的過程中感悟、自省、領(lǐng)悟方法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些思維誤區(qū)進(jìn)行分析，探究產(chǎn)生的原因，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知能力和情感的發(fā)展．（來源：鳳凰數(shù)學(xué)）
本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/zhongkao/263869.html
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