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1.3.1函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
一、內(nèi)容與解析
(一）內(nèi)容：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
（二）解析：本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容指的是會(huì)判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性、會(huì)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、能證明函數(shù)的單調(diào)性,其關(guān)鍵是利用形式化的定義處理有關(guān)的單調(diào)性問題,理解它關(guān)鍵就是要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換式子 .學(xué)生已經(jīng)掌握了函數(shù)單調(diào)性的定義、代數(shù)式的變換、函數(shù)的概念等知識(shí),本節(jié)課的內(nèi)容就是在此基礎(chǔ)上的應(yīng)用.的重點(diǎn)是應(yīng)用定義證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,解決重點(diǎn)的關(guān)鍵是嚴(yán)格按過程進(jìn)行證明。
二、目標(biāo)及解析
(一)教學(xué)目標(biāo):
掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力.
(二)解析:
會(huì)證明就是指會(huì)利用三步曲證明函數(shù)的單調(diào)性；會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是指會(huì)利用函數(shù)的圖象寫出單調(diào)增區(qū)間或減區(qū)間；應(yīng)用知識(shí)解決問題就是指能利用函數(shù)單調(diào)性的意義去求參變量的取值情況或轉(zhuǎn)化成熟悉的問題。

三、問題診斷分析
在本節(jié)課的教學(xué)中,學(xué)生可能遇到的問題是如何才能準(zhǔn)確確定 的符號(hào),產(chǎn)生這一問題的原因是學(xué)生對(duì)代數(shù)式的恒等變換不熟練.要解決這一問題,就是要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行知識(shí)補(bǔ)習(xí)，特別是因式分解、二次根式中的分母有理化的補(bǔ)習(xí).

四、教學(xué)支持條件分析
在本節(jié)課()的教學(xué)中,準(zhǔn)備使用(),因?yàn)槭褂?),有利于().


五、教學(xué)過程
問題1.用三種語言描述函數(shù)單調(diào)性的意義

問題2.基本例題
例1如圖是定義在區(qū)間［－5，5］上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

活動(dòng)：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點(diǎn)撥、提示并及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù).
解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-5,2),［1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間［-2,1),［3,5］上是增函數(shù).
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)性.
圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.
變式訓(xùn)練
課本P32練習(xí)1、3.
例2物理學(xué)中的玻意耳定律p= （k為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.
活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時(shí)，教師再提示,及時(shí)糾正學(xué)生解答過程出現(xiàn)的問題，并標(biāo)出關(guān)鍵的地方，以便學(xué)生總結(jié)定義法的步驟.體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大是指函數(shù)p= 是減函數(shù)；刻畫體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大的方法是用不等式表達(dá).已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常用單調(diào)性的定義來解決.
解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p= 在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù)即可.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.
定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量x1和x2,通常令x1變式訓(xùn)練
課本P32練習(xí)4.
1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性.
解：①正比例函數(shù)：y=kx(k≠0)
當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù).
②反比例函數(shù)：y= (k≠0)
當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y= 的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y= 的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)，(0,+∞),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.
③一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)
當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù).
④二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a≠0)
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞, ］，單調(diào)遞增區(qū)間是［ ,+∞)；
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是［ ,+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞, ］.
點(diǎn)評(píng)：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住，可以提高解題速度.
2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
答案：k∈(0,+∞).
3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是減函數(shù)，在(2,+∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.
答案：a=2.


問題3。能力型例題
例1（1）畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象；
（2）證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間 (-∞,1］上是增函數(shù)；
（3）當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,m］上是增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

圖1-3-1-4
解：（1）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如圖1-3-1-4所示.
(2)設(shè)x1、x2∈(-∞,1］，且x1f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)
=(x22-x12)+2(x1-x2)
=(x1-x2)(2-x1-x2).
∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)∴函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù).
（3）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對(duì)稱軸是直線x=1，在對(duì)稱軸的左側(cè)是增函數(shù)，那么當(dāng)區(qū)間(-∞,m］位于對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)滿足題意，則有m≤1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1］.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)來分析；二次函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對(duì)稱軸不在區(qū)間D內(nèi).
判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明.
判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲：
第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢(shì)；
第二步，結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
第三步，用數(shù)學(xué)符號(hào)即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會(huì)根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運(yùn)用單調(diào)性解決一些問題，會(huì)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識(shí)聯(lián)系極為密切，是高考命題的熱點(diǎn)題型.
例2.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；
活動(dòng)：（1）本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格式書寫；解：（1）設(shè)x1、x2∈R，且x1F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］
=［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］.
又∵函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x1∴f(x1)∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］<0.
∴F(x1)知能訓(xùn)練
課本P32練習(xí)2.
例3.已知f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù)，若f (a+1)點(diǎn)評(píng)：本題實(shí)質(zhì)是解不等式，但是這是一個(gè)不具體的不等式，是抽象不等式.解與函數(shù)有關(guān)的抽象不等式時(shí)，常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”，轉(zhuǎn)化為整式不等式.
拓展提升
例4．1. 畫出函數(shù)y= 的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間.
2. 試分析函數(shù)y=x+ 的單調(diào)性.


六、課堂小結(jié)
本節(jié)學(xué)習(xí)了:①函數(shù)的單調(diào)性;②判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法.
活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評(píng)價(jià).

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