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第4節(jié) 平衡條的應(yīng)用之動(dòng)態(tài)分析
物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)或在緩慢移動(dòng)的過程中，其中有一部分力是變力，是動(dòng)態(tài)力，力的大小和方向均要發(fā)生變化，這類問題是動(dòng)態(tài)平衡問題．
例1：如圖所示，用 AO、BO 細(xì)繩吊一重物 P 靜止，其中 AO 繩水平．現(xiàn)用水平向右的力 F 緩慢拉起重物 P 的過程中，繩 OB 所受的拉力變化為（ ）
A．變大 B．變小
C．先變小再變大 D．不變
[分析]由于緩慢拉起重物 P 的過程中，F(xiàn)的大小在改變，OP繩拉力大小和方向都在改變，為了避開研究F及OP繩拉力的變化情況，可以結(jié)點(diǎn)O、OP繩及重物整體為研究對(duì)象，用解析法求解．
[解答]以結(jié)點(diǎn)O、OP繩及重物整體為研究對(duì)象，受到重力mg、F、AO繩拉力FAO和BO繩拉力FOB而平衡，如圖所示．由平衡條得FOB = mgsinθ ，可見，F(xiàn)BO與F變化情況無關(guān)．
答案D．
[規(guī)律小結(jié)]①物體處于動(dòng)態(tài)平衡時(shí)，可以用解析法求解，但要對(duì)研究對(duì)象的任一狀態(tài)進(jìn)行受力分析，根據(jù)具體情況引入自變參量，建立平衡方程，找出待求量與自變參量的一般函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)自變參量的變化確定待求量的變化．
②在物體受力動(dòng)態(tài)平衡問題上，是用隔離法還是用整體法求解，要根據(jù)具體題目具體問題定．如果本題改為求AO繩所受的拉力變化情況，應(yīng)先對(duì)重物P用隔離法判斷F變大，再用整體法判斷AO繩所受的拉力變大．
注意：本題極易認(rèn)為拉力FAO不變，F(xiàn) 緩慢拉起重物 P 的過程中可知F緩慢變大， 所以FBO的水平分力緩慢變小而錯(cuò)選B。
例2：繩的一端A固定在豎直墻壁上,另一端通過固定在直桿BE的定滑輪吊一重物，如圖所示，桿BE可以繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)．桿、滑輪、繩的質(zhì)量及摩擦均不計(jì)，設(shè)AC段繩的拉力大小為F，BE桿受的壓力大小為FN，把繩端A點(diǎn)沿墻稍向下移一微小距離，整個(gè)裝置再一次平衡后有（ ）
A．F、FN均增大 B．F先減小后增大、FN增大
C．F不變、FN增大 D．F、FN均不變
[分析]當(dāng)繩端A點(diǎn)沿墻稍向下移一微小距離時(shí)，AC繩上的拉力F方向發(fā)生變化，兩段繩的夾角變小，使桿的方向即BE的支持力FN′方向發(fā)生變化，即FN的方向也發(fā)生變化，而FN的大小如何變化呢？
思路一：由于本題屬于三力動(dòng)態(tài)平衡問題可以應(yīng)用圖解法直觀解決．
思路二：利用三角形相似的性質(zhì)，找出關(guān)系式進(jìn)行討論。
[解答]由于繩通過定滑輪吊一重物，所以兩段繩上的拉力大小均為重物的重力G，所以選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤．以與定滑輪接觸的那一小段繩C為研究對(duì)象，受到三個(gè)力作用：豎直繩對(duì)C的拉力F1、AC繩對(duì)C的拉力F、桿BE對(duì)C的支持力FN′．
解法一：用圖解法判斷FN大小變化情況。作出恒力F1的平衡力F1′，以作用點(diǎn)C為圓心，以F1的大小為半徑作圓，則力F和F1′的矢端一定落在圓周上．根據(jù)平行四邊形定則作圖，如圖甲所示，可知當(dāng)A點(diǎn)沿墻稍向下移一微小距離時(shí)FN = FN′增大，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．
解法二：受力如圖乙所示，由于FF2∥AB，△CAB與△CFF2相似，有
F2BC = F1AB ，　　　　　　①
又　　　　FN = FN′ = F2，F(xiàn)1 = G　　　　�、�
由①、②式得　FN = BCAB G，　　　 ③
當(dāng)繩端A點(diǎn)沿墻稍向下移一微小距離時(shí)，AB變小，而BC、G均不變，由③式可知，F(xiàn)N變大，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．
解法三：F與F1相等，F(xiàn)N必在F與F1的夾角的角平分線上，由于F = F1 = G，且AC下移時(shí)兩力的夾角減小，故F與F1的合力F2增大，所以FN′ = F2增大。
答案C．
[規(guī)律小結(jié)]①圖解法是根據(jù)平行四邊形定則進(jìn)行力的合成或分解，利用鄰邊及其夾角跟對(duì)角線的關(guān)系分析力的大小或方向變化情況的方法．圖解法具有直觀簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，多用于定性研究，對(duì)三個(gè)共點(diǎn)力平衡的動(dòng)態(tài)分析問題應(yīng)用圖解法尤其有效，但要求平行四邊形要畫準(zhǔn)確些．
②動(dòng)態(tài)平衡問題用圖解法解題四步驟：
a．對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，判斷是否屬于共點(diǎn)的三力平衡問題．
b．分析物體所受各力的大小、方向在動(dòng)態(tài)平衡中變化特點(diǎn)，明確哪個(gè)是恒力；哪個(gè)是大小不變、方向變的力；哪個(gè)是方向不變、大小變的力；哪個(gè)是大小和方向都變的力．
c．作出恒力的平衡力．
若存在大小不變、方向變的力，以作用點(diǎn)為圓心以此力的大小為半徑作圓，則此圓上的任一點(diǎn)與平衡力矢端的連線為第三個(gè)力．
若存在方向不變、大小變的力，過恒力的矢端作此力方向的平行線，則第三個(gè)力的矢端一定落在這條平行線上．
d．根據(jù)平行四邊形定則利用三力的矢量三角形討論有關(guān)問題．
③利用三角形相似的性質(zhì)，把力的矢量三角形與結(jié)構(gòu)三角形聯(lián)系越，建立力的大小與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，也是處理動(dòng)態(tài)平衡問題的一個(gè)重要解題方法．
④若直桿是輕桿，且只有兩端受力，則桿兩端所受的力一定都沿桿的方向．
注意：本題極易因沒有理解“整個(gè)裝置再一次平衡”和E處滑輪的作用而認(rèn)為當(dāng)AC繩與豎直繩垂直時(shí)，AC繩上的拉力F有最小值，錯(cuò)選B。
例3：如圖所示，在半徑為R的光滑半球面的正上方懸掛一個(gè)光滑的小定滑輪（距地面高度為h）．重為G的小球A（可視為質(zhì)點(diǎn)）用繞過滑輪的細(xì)繩被站在地面上的人拉�。�人拉動(dòng)細(xì)繩，在與球面相切的某點(diǎn)緩慢運(yùn)動(dòng)到接近頂點(diǎn)的過程中，試分析球面對(duì)小球的支持力和細(xì)繩拉力大小各如何變化．
[分析]為什么要設(shè)置球面而不設(shè)置成斜面呢？小定滑輪為什么要設(shè)置在半球面的正上方而不設(shè)置在左上方或右上方？這說明了支持力FN、拉力F的大小可能受到R、h等的限制，要求找出其函數(shù)關(guān)系．本題從幾何關(guān)系入手，尋找與力的矢量三角形相似的結(jié)構(gòu)三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，建立比例關(guān)系，把力的大小變化問題轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)三角形邊長(zhǎng)的大小變化問題進(jìn)行討論．
[解答] 由于小球緩慢運(yùn)動(dòng)，受力平衡有FN′ = FN，觀察圖不難發(fā)現(xiàn)：F′FN′∥OB，△AF′FN′與△ABO相似，則有
FN′ G = OA OB = R h ，即FN　= R h G，　　　　　　�、�
F′ G = AB OB = AB h ，即F = F′ = AB h G，　　　　�、�
球緩慢上移的過程中，由于G、R、h都不變，而細(xì)繩長(zhǎng)AB逐漸減小，由①式可知，支持力FN大小不變；由②式可知，細(xì)繩的拉力F′逐漸減�。�
[規(guī)律小結(jié)]①本題是屬于三個(gè)共點(diǎn)力平衡問題，雖然可以用圖解法處理，但是要求畫圖要十分準(zhǔn)確，兩次的小球位置要相距大一些，小球、定滑輪都要畫成一個(gè)點(diǎn)，定滑輪一定要畫在半球面的正上方，只有這樣，才能確定球面對(duì)小球的支持力和細(xì)繩拉力大小的變化情況．
②對(duì)受一恒定外力和方向都變化的另外兩個(gè)外力作用而平衡的討論問題，單純應(yīng)用平衡條列出方程，用解析法求解有時(shí)不易討論清楚，若能結(jié)合相應(yīng)的三角形的知識(shí)、正弦定理等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行討論，往往會(huì)得到事半功倍之功效．
注意：本題極易受到斜面上物體平衡時(shí)FN = mgcosα、F = mgsinα思維定勢(shì)的影響，在小球緩慢運(yùn)動(dòng)到接近頂點(diǎn)的過程中，錯(cuò)認(rèn)為繩AB沿切線方向，相當(dāng)于斜面的傾角α變小，支持力FN逐漸增大。
同步訓(xùn)練：
1、如圖所示，物塊靜止于傾斜的木板上，若木板的傾角θ緩慢減小到0°，則木板對(duì)物塊的支持力FN和摩擦力Ff的變化情況是（ ）
A．FN、Ff都增大 B．FN、Ff都減小
C．FN減小，F(xiàn)f增大 D．FN增大，F(xiàn)f減小
2、如圖3所示，小船用繩索拉向岸邊，設(shè)船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受水的阻力不變，那么小船在勻速靠岸過程中，下面說法哪些是正確的（ ）
　　A．繩子的拉力F不斷增大
　　B．繩子的拉力F不變
　　C．船所受的浮力不斷減小
　　D．船所受的浮力不斷增大
3、如圖所示，繩與桿均不計(jì)重力，承受彈力的最大值一定，A端用絞鏈固定，滑輪O在A點(diǎn)正上方， B端吊一重物P，繩與B端是連接在一起的，滑輪大小及摩擦均可忽略。現(xiàn)施拉力F將B緩慢上拉，在桿達(dá)到豎直前（繩子、桿均均未斷） （ ）
A．繩子OB越越容易斷． B．繩子OB越越不容易斷．
C．桿越越容易斷． D．桿越越不容易斷．
4、（2005•蘇州）當(dāng)物體從高空下落時(shí)，所受阻力會(huì)隨物體的速度增大而增大，因此經(jīng)過下落一段距離后將勻速下落，這個(gè)速度稱為此物體下落的收尾速度．研究發(fā)現(xiàn)，在相同環(huán)境條下，球形物體的收尾速度僅與球的半徑和質(zhì)量有關(guān)，已知g取10m/s2．下表是某次研究的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)
小球編號(hào)ABCDE
小球的半徑（×10 3m）0.50.51.522.5
小球的質(zhì)量（×10 6kg）254540100
小球的收尾速度（m/s）1640402032
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出B球與C球在達(dá)到終極速度時(shí)所受阻力之比．
（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，歸納出球型物體所受阻力Ff與球的速度大小及球的半徑的關(guān)系（寫出有關(guān)表達(dá)式、并求出比例系數(shù)）．
（3）現(xiàn)將C號(hào)和D號(hào)小球用輕質(zhì)細(xì)線連接，若它們?cè)谙侣鋾r(shí)所受阻力與單獨(dú)下落時(shí)的規(guī)律相同．讓它們同時(shí)從足夠高的同一高度下落，試求出它們的收尾速度；并判斷它們落地的順序（不需要寫出判斷理由）．
[參考答案]
1、D[解析]解法一：以物體為研究對(duì)象，受到重力g、木板的支持力FN和靜摩擦力Ff的作用，作出重力g的平衡力F，過F的矢端分別作FN、Ff的平行線以確定FN、Ff的大小．由圖可知θ緩慢減小到0°時(shí)，F(xiàn)N增大，F(xiàn)f減小．
解法二：在木板的傾角θ緩慢減小到0°的過程中，物體受力平衡，有
FN = gcosθ，F(xiàn)f = gsinθ，
由于0 ≤ θ < 90°，所以θ↓→ cosθ↑→ FN↑，θ↓→ sinθ↓→ Ff↓
2、AC[解析]小船共受四個(gè)力作用：重力G、浮力F1、水的阻力Ff、繩子拉力F．引入繩與水平方向的夾角θ為參量．
對(duì)小船，有Fcosθ = Ff，F(xiàn)1 = G ? Fsinθ．　
由于重力G和水對(duì)小船的阻力Ff不變，在靠岸過程中θ不斷增大，所以F不斷增大，F(xiàn)1不斷減小．
3、B[解析]BP繩的拉力F1 = G，由三角形相似的性質(zhì)有
FOB = FNAB = F1OA，得F = OBOAG，F(xiàn)N = ABOAG，B緩慢上拉的過程中，OB變小，但OA、AB均不變，所以F變小，F(xiàn)N不變．
4、[解析]（1）球在達(dá)到收尾速度時(shí)為平衡狀態(tài)，有 Ff = mg
所以 　　　 FfB∶FfC = mB∶mC
代入數(shù)據(jù)得　　 FfB∶FfC = 1∶9
（2）由表中A、B號(hào)球的有關(guān)數(shù)據(jù)可得，阻力與速度成正比，即　Ff ∝ υ
由表中B、C號(hào)球有關(guān)數(shù)據(jù)可得，阻力與球的半徑的平方成正比，即 Ff ∝ r2
得　　　　　　 　　　Ff = kυr2
對(duì)D號(hào)球，F(xiàn)fD = kυDrD2，k = FfDυDrD2 = 40×10-6×1020×(2×10-3 )2 N• s/m3 = 5N• s/m3
（3）將C號(hào)和D號(hào)小球用細(xì)線連接后，其收尾速度應(yīng)滿足
mCg + mDg = FfC + FfD
即　　　　　 ( mC + mD ) g = kυ ( rC2 + rD2 )
代入數(shù)據(jù)得　 　υ = 27.3m/s　
比較C號(hào)和D號(hào)小球的質(zhì)量和半徑，可判斷C球先落地．


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