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模塊綜合素質(zhì)檢測題
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷非兩部分，滿分150分，時間120分鐘。
第Ⅰ卷(選擇題　共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的)
1．已知sinα＝－22，π2<α<3π2，則角α等于(　　)
A.π3　　　　　　　　　
B.2π3
C.4π3
D.5π4
[答案]　D
2．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若a＋b不超過5，則k的取值范圍是(　　)
A．[－4,6]
B．[－6,4]
C．[－6,2]
D．[－2,6]
[答案]　C
[解析]　由a＋b≤5平方得a2＋2a•b＋b2≤25，
由題意得8＋2(－10＋2k)＋25＋k2≤25，
即k2＋4k－12≤0，(k＋6)(k－2)≤0，求得－6≤k≤2.故選C.
3．函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx的最小正周期是(　　)
A.π4
B.π2
C．π
D．2π
[答案]　C
[解析]　由f(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4，而y＝2sin(x＋π4)的周期為2π，所以函數(shù)f(x)的周期為π，故選C.
[點(diǎn)評]　本題容易錯選D，其原因在于沒有注意到加了絕對值會對其周期產(chǎn)生影響．
4．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝a＋b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為(　　)
A．30°　　　
B．60°　　　
C．120°　　　
D．150°
[答案]　C
[解析]　∵c⊥a，∴a•c＝0，∴a•(a＋b)＝0，
即a•b＝－a2，設(shè)a與b的夾角為θ，
∴cosθ＝a•ba•b＝－a2a•b＝－12，
∴θ＝120°.
5．函數(shù)y＝tan2x－π4的單調(diào)增區(qū)間是(　　)
A.kπ2－π8，kπ2＋3π8，k∈Z
B.kπ2＋π8，kπ2＋5π8，k∈Z
C.kπ－π8，kπ＋3π8，k∈Z
D.kπ＋π8，kπ＋5π8，k∈Z
[答案]　A
[解析]　∵kπ－π2<2x－π4<kπ＋π2，k∈Z，
∴kπ－π4<2x<kπ＋3π4，k∈Z.
∴kπ2－π8<x<kπ2＋3π8，k∈Z.
6．點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動，速度向量v＝(4，－3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動方向與v相同，且每秒移動的距離為v個單位)．設(shè)開始時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10,10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)
A．(－2,4)
B．(－30,25)
C．(10，－5)
D．(5，－10)
[答案]　C
[解析]　設(shè)(－10,10)為A,5秒后P點(diǎn)的坐標(biāo)為A1(x，y)，則AA1→＝(x＋10，y－10)，由題意有AA1→＝5v.
所以(x＋10，y－10)＝(20，－15)
⇒x＋10＝20y－10＝－15⇒x＝10y＝－5所以選C.
7．函數(shù)y＝sin2x＋π6＋cos2x＋π3的最小正周期和最大值分別為(　　)
A．π，1
B．π，2
C．2π，1
D．2π，2
[答案]　A
[解析]　y＝sin2xcosπ6＋cos2x•sinπ6＋cos2xcosπ3－sin2xsinπ3
＝32sin2x＋12cos2x＋12cos2x－32sin2x
＝cos2x，
∴函數(shù)的最小正周期為π，最大值為1.
8．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為(　　)
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
[答案]　D
[解析]　設(shè)d＝(x，y)，由題意4a＝(4，－12),4b－2c＝(－6,20),2(a－c)＝(4，－2)．又表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，
∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，即(4，－12)＋(－6，20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，求得向量d＝(－2，－6)．
9．若sinα＋cosα＝tanα0<α<π2，則角α所在區(qū)間是(　　)
A.0，π6
B.π6，π4
C.π4，π3
D.π3，π2
[答案]　C
[解析]　tanα＝sinα＋cosα＝2sin(α＋π4)，
∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.
∴22<sin(α＋π4)≤1.
∴1<tanα≤2<3.
∴π4<α<π3，即α∈(π4，π3)．故選C.
10．若向量i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋j，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(　　)
A.12，＋∞
B．(－∞，－2)∪－2，12
C.－2，23∪23，＋∞
D.－∞，12
[答案]　B
[解析]　由條件知a＝(1，－2)，b＝(1，)，
∵a與b的夾角為銳角，
∴a•b＝1－2>0，∴<12.
又a與b夾角為0°時，＝－2，∴≠－2.
[點(diǎn)評]　兩個向量夾角為銳角則數(shù)量積為正值，夾角為鈍角則數(shù)量積為負(fù)值，是常用的結(jié)論．
11．已知函數(shù)F(x)＝sinx＋f(x)在－π4，3π4上單調(diào)遞增，則f(x)可以是(　　)
A．1
B．cosx
C．sinx
D．－cosx
[答案]　D
[解析]　當(dāng)f(x)＝1時，F(xiàn)(x)＝sinx＋1；當(dāng)f(x)＝sinx時，F(xiàn)(x)＝2sinx.此兩種情形下F(x)的一個增區(qū)間是－π2，π2，在－π4，3π4上不單調(diào)；對B選項(xiàng)，當(dāng)f(x)＝cosx時，F(xiàn)(x)＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4的一個增區(qū)間是－3π4，π4，在－π4，3π4上不單調(diào)；D選項(xiàng)是正確的．
12．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．正三角形
[答案]　B
[解析]　∵C＝π－(A＋B)，∴sinC＝sin(A＋B)，∴2sinAcosB＝sin(A＋B)．∴sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.∴A－B＝kπ(k∈Z)．又A、B為三角形的內(nèi)角，∴A－B＝0.∴A＝B.則三角形為等腰三角形．
[點(diǎn)評]　解三角形的題目注意應(yīng)用誘導(dǎo)公式及三角形內(nèi)角和為π的條件．
第Ⅱ卷(非選擇題　共90分)
二、題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．函數(shù)y＝cos2x＋sinxcosx的最小正周期T＝________.
[答案]　π
[解析]　y＝cos2x＋sinxcosx＝cos2x＋12sin2x
＝52sin(2x＋φ)，
∴函數(shù)f(x)的周期T＝2π2＝π.
14．已知α，β均為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tanα＝________.
[答案]　1
[解析]　∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，
∵α、β為銳角，∴cosα≠0，cosβ≠0，
上式兩邊同除以cosαcosβ得
1－tanαtanβ＝tanα－tanβ，
即tanα－tanβ＋tanαtanβ－1＝0，
∴(1＋tanβ)(tanα－1)＝0，
∵β為銳角，∴tanβ＞0，
∴1＋tanβ≠0，∴tanα－1＝0即tanα＝1.
15．△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，OH→＝(OA→＋OB→＋OC→)，則實(shí)數(shù)＝________.
[答案]　1
[解析]　由于本題是題，所以可以令三角形ABC為等腰三角形，其中角C＝90°，則兩直角邊的高的交點(diǎn)為C，即C與H重合．而O為斜邊AB的中點(diǎn)，所以O(shè)A→與OB→為相反向量，所以有OA→＋OB→＝0，于是OH→＝OC→，而C與H重合，所以＝1.
16．函數(shù)f(x)＝3sin2x－π3的圖象為C，如下結(jié)論中正確的是________(寫出所有正確結(jié)論的編號)．
①圖象C關(guān)于直線x＝11π12對稱；
②圖象C關(guān)于點(diǎn)2π3，0對稱；
③函數(shù)f(x)在區(qū)間－π12，5π12內(nèi)是增函數(shù)；
④由y＝3sin2x的圖象向右平移π3個單位長度可以得到圖象C.
[答案]�、佗冖�
[解析]　f11π12＝3sin3π2＝－3，①正確；
f2π3＝3sinπ＝0，②正確；
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z得，
kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，
∴f(x)的增區(qū)間為kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)，
令k＝0得增區(qū)間為－π12，5π12，③正確；
由y＝3sin2x的圖象向右平移π6個單位長度可以得到圖象C，④錯誤．
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝a•b，其中向量a＝(，cos2x)，b＝(1＋sin2x,1)，x∈R，且函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)π4，2.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)求函數(shù)f(x)的最小值及此時x值的集合．
[解析]　(1)f(x)＝a•b＝(1＋sin2x)＋cos2x，
由已知fπ4＝1＋sinπ2＋cosπ2＝2，得＝1.
(2)由(1)得f(x)＝1＋sin2x＋cos2x
＝1＋2sin2x＋π4，
∴當(dāng)sin2x＋π4＝－1時，f(x)取得最小值1－2，
由sin2x＋π4＝－1得，2x＋π4＝2kπ－π2，
即x＝kπ－3π8(k∈Z)
所以f(x)取得最小值時，x值的集合為
xx＝kπ－3π8，k∈Z.
18．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝1－2sin2x－π4cosx.
(1)求f(x)的定義域；
(2)設(shè)α是第四象限的角，且tanα＝－43，求f(α)的值．
[解析]　(1)由cosx≠0得x≠kπ＋π2(k∈Z)，
故f(x)的定義域?yàn)閤x≠kπ＋π2，k∈Z.
(2)因?yàn)閠anα＝－43，且α是第四象限的角，
所以sinα＝－45，cosα＝35，
故f(α)＝1－2sin2α－π4cosα
＝1－222sin2α－22cos2αcosα
＝1－sin2α＋cos2αcosα＝2cos2α－2sinαcosαcosα
＝2(cosα－sinα)＝145.
19．(本題滿分12分)(08•陜西文)已知函數(shù)f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最值；
(2)令g(x)＝fx＋π3，判斷函數(shù)g(x)的奇偶性，并說明理由．
[解析]　(1)∵f(x)＝sinx2＋3cosx2
＝2sinx2＋π3，
∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.
當(dāng)sinx2＋π3＝－1時，f(x)取得最小值－2；
當(dāng)sinx2＋π3＝1時，f(x)取得最大值2.
(2)由(1)知f(x)＝2sinx2＋π3，
又g(x)＝fx＋π3，
∴g(x)＝2sin12x＋π3＋π3
＝2sinx2＋π2＝2cosx2.
∵g(－x)＝2cos－x2＝2cosx2＝g(x)，且定義域?yàn)镽，∴函數(shù)g(x)是偶函數(shù)．
20．(本題滿分12分)已知sin(45°＋α)sin(45°－α)＝－14，0°<α<90°.
(1)求α的值；
(2)求sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]的值．
[解析]　(1)∵sin(45°＋α)sin(45°－α)＝sin(45°＋α)cos(45°＋α)
＝12sin(90°＋2α)＝12cos2α，
∴12cos2α＝－14.即cos2α＝－12.
∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，
∴2α＝120°，α＝60°.
(2)sin(α＋10°)[1－3tan(α－10°)]
＝sin70°(1－3tan50°)＝sin70°•cos50°－3sin50°cos50°
＝2sin70°cos50°12cos50°－32sin50°
＝2sin70°cos110°cos50°＝－2sin70°sin20°cos50°
＝－2cos20°sin20°cos50°＝－sin40°cos50°＝－1.
21．(本題滿分12分)(2010•江西文，19)已知函數(shù)f(x)＝(1＋1tanx)sin2x－2sin(x＋π4)sin(x－π4)．
(1)若tanα＝2，求f(α)；
(2)若x∈[π12，π2]，求f(x)的取值范圍．
[解析]　(1)f(x)＝sinx＋cosxsinx•sin2x－2(22sinx＋22cosx)(22sinx－22cosx)
＝sin2x＋cosxsinx－sin2x＋cos2x＝sinxcosx＋cos2x
∴f(α)＝cos2α＋sinαcosα1
＝cos2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＝1＋tanαtan2α＋1＝35.
(2)由(1)知，f(x)＝cos2x＋sinxcosx
＝1＋cos2x2＋sin2x2＝22sin(2x＋π4)＋12，
∵π12≤x≤π2⇒5π12≤2x＋π4≤5π4⇒－22≤sin(2x＋π4)≤1⇒0≤f(x)≤2＋12，∴f(x)∈[0，2＋12]．
22．(本題滿分14分)設(shè)平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α＜360°)，b＝(－12，32)．
(1)試證：向量a＋b與a－b垂直；
(2)當(dāng)兩個向量3a＋b與a－3b的模相等時，求角α.
[解析]　(1)(a＋b)•(a－b)＝(cosα－12，sinα＋32)•(cosα＋12，sinα－32)
＝(cosα－12)(cosα＋12)＋(sinα＋32)(sinα－32)
＝cos2α－14＋sin2α－34＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由a＝1，b＝1，且3a＋b＝a－3b，平方得(3a＋b)2＝(a－3b)2，整理得2a2－2b2＋43ab＝0①.
∵a＝1，b＝1，∴①式化簡得a•b＝0，
a•b＝(cosα，sinα)•(－12，32)＝－12cosα＋32sinα＝0，即cos(60°＋α)＝0.
∵0°≤α＜360°，∴可得α＝30°，或α＝210°.
[點(diǎn)評]　(1)問可由a＝1，b＝1得，(a＋b)•(a－b)＝a2－b2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．


本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaoyi/284685.html

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