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惠州市201-2014學(xué)年第學(xué)期期末考試高數(shù)學(xué)說明：1、全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘2、答卷前，考生將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名、試室號(hào)、座位號(hào)，填寫在答題卷上、考試結(jié)束后，考生將答題卷交回。一、選擇題（本大題共小題，每小題5分，共4分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）1．的焦距等于（ ） A． B． C． D．．．同向共線的單位向量為（ ）A． B． 或 C． D．或4.已知點(diǎn)拋物線，點(diǎn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，=（ ）．.已知事件與事件發(fā)生的概率分別為、，有下列命題：①若為必然事件，則．與互斥，則．與互斥，則． ．”是“方程表示的曲線為拋物線”的（ ）條件。A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要7．執(zhí)行程序框圖，如果輸入，那么輸出．已知橢圓，左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為8，則的值是（） B． C． D．二、填空題：(本大題共題，每小題5分，共分．請(qǐng)將答案填寫在上．)的漸近線方程為 ．.樣本，，，，的方差為 ．11.已知，，若，則的值為 ．1.命題“”的否定是 ．.某城市近10年居民的年收入與支出之間的關(guān)系大致符合（單位：億元），預(yù)計(jì)今年該城市居民年收入為20億元，則年支出估計(jì)是 億元．14.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)（含正方體表面）任取一點(diǎn)，則的概率 ．三、解答題：(本大題共題，滿分0．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)1．（本小題滿分12分）某社團(tuán)組織名志愿者利用周末和節(jié)假日參加社會(huì)公益活動(dòng)志愿者20至40歲大于40歲．在志愿者中分層抽樣方法隨機(jī)抽取名年齡大于40歲的應(yīng)該抽取幾名?上述抽取的名志愿者中任取2名求年齡大于40歲的．16．（本小題滿分1分），，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）求當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足的概率；（2）求當(dāng)時(shí)，點(diǎn)滿足的概率．17．（本小題滿分14分）設(shè)命題：實(shí)數(shù)滿足，其中命題：實(shí)數(shù)滿足（1）若，且為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（本小題滿分14分）已知橢圓的離心率為，直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線橢圓為求．19．（本小題滿分14分）已知正方體，、、分別是、和的中點(diǎn)．（1）證明：面；的余弦值．．（本小題滿分14分）已知?jiǎng)又本�與橢圓交于兩不同點(diǎn)，且△的面積=其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．（）證明和均為定值（）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；（）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得若存在，判斷△的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．惠州市201-2014學(xué)年第學(xué)期期末考試高數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）題號(hào)12345678答案BCCBCABD1．【解析】由，所以焦距為16.∴選B．．【解析】因?yàn)殚g隔相同，所以是系統(tǒng)抽樣法，∴選C．3．【解析】，∴，∴選C．4．【解析】拋物線知，，∴選B．．【解析】由概率的性質(zhì)知①③為真命題，∴選C．6．【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程表示的曲線為拋物線，∴選A．7．【解析】，進(jìn)入循環(huán)后各參數(shù)對(duì)應(yīng)值變化如下表：1520結(jié)束52523∴選B．8．∵AF1+AF2=6，BF1+BF2=6，∴△AF2B的周長(zhǎng)為AB+AF2+BF2=12；若AB最小時(shí)，BF2+AF2的最大，又當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，AB最小，此時(shí)AB=，故．∴選D．二、填空題：(本大題共6題，每小題5分，共30分．)9. 10.2 11.6 12. 13.18.2 14. 9．的漸近線方程為．．．．．．．．．．為原點(diǎn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，則,則，從而．三、解答題：(本大題共題，滿分0．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)1．（本小題滿分12分）解(1)若在志愿者中隨機(jī)抽取名則抽取比例為∴年齡大于40歲的應(yīng)該抽取人. (2)上述抽取的名志愿者中20至40歲大于40歲任取2名，共10種，…8分其中恰有1人年齡大于40歲的，共6種，………………………………10分∴恰有1人年齡大于40歲的.…………………………………12分16．（本小題滿分1分）解：的點(diǎn)的區(qū)域?yàn)橐詾閳A心，2為半徑的圓面（含邊界）． ……………………（3分）所求的概率． …………………………（5分）（2）滿足，且，的整點(diǎn)有25個(gè) …………（8分）滿足，且的整點(diǎn)有6個(gè)，……………（11分）所求的概率． ………………………………（12分）17．（本小題滿分1分）解　(1)由得.又，所以，當(dāng)時(shí)，，即為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是由.所以為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.若為真，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．(2) 設(shè)，是的充分不必要條件，則所以所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18．（本小題滿分1分）解：（1）又由直線與圓相切，由得，………………………………… 4分∴橢圓方程為…………………………………………………6分（2）…………8分，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為………9分則…………………………………………………11分從而所以弦長(zhǎng)…………………………………………………………14分19．（本小題滿分1分）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，正方體棱長(zhǎng)為，則D(0，，0)、(0，，)、(1，，0) 、(0，1，) 、 (2，0，) 、C(0，，)， (1)則，，………………………… 3分∵，∴ ………………………… 4分∵，∴ ………………………… 5分又，，……………… 6分∴面(2)由(1)知為面的法向量，………………………… 8分∵面，為面的法向量，……………… 9分設(shè)與夾角為，則……… 12分由圖可知二面角的平面角為，∴二面角的余弦值為．．（本小題滿分14分）的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以因?yàn)樵跈E圓上，因此①又因?yàn)樗�以②由①、②得此時(shí)…………… 2分 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由題意知，將其代入，得，其中即…（*）又所以因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時(shí)綜上所述，結(jié)論成立�！�…………………… 5分 （2）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（I）知因此……………………………………… 6分 （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜合（1）（2）得的最大值為………………………………… 9分解法二：因?yàn)樗�以即�?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。因此的最大值為………………………………………………… 9分 （3）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得… 10分證明：假設(shè)存在，由（I）得 解得所以只能從中選取，只能從中選取，因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過原點(diǎn)，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G. ………………… 14分惠州市201-2014學(xué)年第學(xué)期期末考試1 頁 共 11 頁開始是否輸出結(jié)束輸入廣東省惠州市2013-2014學(xué)年高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題(有答案)
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