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2013年全國(guó)卷新課標(biāo)——數(shù)學(xué)理科
（適用地區(qū)：吉林 黑龍江 山西、河南、新疆、寧夏、河北、云南、內(nèi)蒙古）
本試卷包括必考題和選考題兩部分，第1-21題為必考題，每個(gè)考生都必須作答.第22題~第24題，考生根據(jù)要求作答.
一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合 ， ，則 中所含元素的個(gè)數(shù)為
A. 3B. 6C. 8D. 10
【解析】選D.
法一：按 的值為1，2，3，4計(jì)數(shù)，共 個(gè)；
法二：其實(shí)就是要在1，2，3，4，5中選出兩個(gè)，大的是 ，小的是 ，共 種選法.
2.將2名教師，4名學(xué)生分成兩個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由一名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有
A. 12種B. 10種C. 9種D. 8種
【解析】選A.
只需選定安排到甲地的1名教師2名學(xué)生即可，共 種安排方案.
3.下面是關(guān)于復(fù)數(shù) 的四個(gè)命題：
的共軛復(fù)數(shù)為 的虛部為
其中的真命題為
A. ， B. ， C. ， D. ，
【解析】選C.
經(jīng)計(jì)算， .
4.設(shè) 是橢圓 的左右焦點(diǎn)， 為直線 上的一點(diǎn)， 是底角為 的等腰三角形，則 的離心率為
A. B. C. D.
【解析】選C.
畫(huà)圖易得, 是底角為 的等腰三角形可得 ，即 , 所以 .
5.已知 為等比數(shù)列， ， ，則
A. B. C. D.
【解析】選D.
, , 或 , 成等比數(shù)列， .
6.如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù) 和
實(shí)數(shù) ，輸出 ， ，則
A. 為 的和
B. 為 的算術(shù)平均數(shù)
C. 和 分別是 中最大的數(shù)和最小的數(shù)
D. 和 分別是 中最小的數(shù)和最大的數(shù)
【解析】選C.
7. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的
是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
【解析】選B.
由三視圖可知，此幾何體是底面為俯視圖三角形，高為3的三棱錐，
.
8.等軸雙曲線 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上， 與拋物線 的準(zhǔn)線交于 ， ，兩點(diǎn)， ，則的實(shí)軸長(zhǎng)為
A. B. C. D.
【解析】選C.
易知點(diǎn) 在 上，得 ， .
9.已知 ，函數(shù) 在 單調(diào)遞減，則 的取值范圍是
A. B. C. D.
【解析】選A.
由 得， ，
.
10.已知函數(shù) ，則 的圖像大致為
【解析】選B.
易知 對(duì) 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，取等號(hào).
11.已知三棱錐 的所有頂點(diǎn)都在球 的球面上， 是邊長(zhǎng)為1的正三角形， 為球 的直徑，且 ，則此棱錐的體積為
A. B. C. D.
【解析】選A.
易知點(diǎn) 到平面 的距離是點(diǎn) 到平面 的距離的2倍.顯然 是棱長(zhǎng)為1的正四面體，其高為 ，故 ，
12.設(shè)點(diǎn) 在曲線 上，點(diǎn) 在曲線 上，則 的最小值為
A. B. C. D.
【解析】選B.
與 互為反函數(shù)，曲線 與曲線 關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng)，只需求曲線 上的點(diǎn) 到直線 距離的最小值的2倍即可.設(shè)點(diǎn) ，點(diǎn) 到直線 距離 .
令 ，則 .由 得 ；由 得 ，故當(dāng) 時(shí)， 取最小值 .所以 ， .
所以 .
二、填空題.本大題共4小題，每小題5分.
13.已知向量 ， 夾角為 ，且 ， ，則 .
【解析】 .
由已知得，
，解得 .
14.設(shè) 滿足約束條件 則 的取值范圍為 .
【解析】 .
畫(huà)出可行域，易知當(dāng)直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 時(shí)， 取最小值 ；當(dāng)直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 時(shí)， 取最大值3.故 的取值范圍為 .
15.某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作.設(shè)三個(gè)電子元件的
使用壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布
，且各元件能否正常工作互相獨(dú)立，
那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為 .
【解析】 .
由已知可得，三個(gè)電子元件使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率均為 ，所以該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為 .
16.數(shù)列 滿足 ，則 的前60項(xiàng)和為 .
【解析】1830.
由 得，
……①
……②,
再由② ①得, ……③
由①得, …
…
由③得, …
所以, .
三、解答題：解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）
已知 ， ， 分別為 三個(gè)內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊， .
(Ⅰ) 求 ；
(Ⅱ) 若 ， 的面積為 ，求 ， .
解：(Ⅰ)法一:由 及正弦定理可得
,
,
,
, ,
, ,
， ，
法二:由正弦定理可得 ，由余弦定理可得 .
再由 可得， ，
即 ，
，即 ， ，
， ， ，
(Ⅱ) ， ， ，
， ， .
解得 .
18.（本小題滿分12分）
某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.
(Ⅰ) 若花店某天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn) （單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量 （單位：枝， ）的函數(shù)解析式；
(Ⅱ) 花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
日需求量n14151617181920
頻數(shù)10201616151310
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
（?）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花， 表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求 的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；
（?）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由.
解：(Ⅰ) （ ）；
(Ⅱ) （?）若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花， 的分布列為
607080
0.10.20.7
的數(shù)學(xué)期望 =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，
的方差 = 60-76 ×0.1+ 70-76 ×0.2+ 80-76 ×0.7=44.
（?）若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花， 的分布列為
55657585
0.10.20.160.54
的數(shù)學(xué)期望 =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，
因?yàn)?6.4 76，所以應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花.
19. （本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱 中， ， 是棱 的中點(diǎn)，
(Ⅰ) 證明：
(Ⅱ) 求二面角 的大小.
(Ⅰ) 證明：設(shè) ， 直三棱柱 ， ， ， ， .
又 ， ， 平面 .
平面 , .
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知， ， ，又已知 ， .
在 中， ， .
， .
法一：取 的中點(diǎn) ，則易證 平面 ，連結(jié) ，則 ，
已知 ， 平面 ， ，
是二面角 平面角.
在 中， ， .
即二面角 的大小為 .
法二：以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為 軸， 為 軸, 為 軸,建立空間直角坐標(biāo)系 .則 .
，設(shè)平面 的法向量為 ，
則 ,不妨令 ,得 ,故可取 .
同理,可求得平面 的一個(gè)法向量 .
設(shè) 與 的夾角為 ,則 , .
由圖可知, 二面角的大小為銳角,故二面角 的大小為 .
20.（本小題滿分12分）
設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ， 為 上一點(diǎn)，已知以 為圓心， 為半徑的圓 交 于 、 兩點(diǎn)
(Ⅰ) 若 ， 面積為 ，求 的值及圓 的方程；
(Ⅱ)若 、 、 三點(diǎn)在同一直線 上，直線 與 平行，且 與 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到 ， 的距離的比值.
解: (Ⅰ)由對(duì)稱(chēng)性可知, 為等腰直角三角形,斜邊上的高為 ,斜邊長(zhǎng) .
點(diǎn) 到準(zhǔn)線 的距離 .
由 得, ,
.
圓 的方程為 .
(Ⅱ)由對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)點(diǎn) 在第一象限,由已知得線段 是圓 的在直徑,
, , ,代入拋物線 得 .
直線 的斜率為 .直線 的方程為 .
由 得 , .
由 得, .故直線 與拋物線 的切點(diǎn)坐標(biāo)為 ,
直線 的方程為 .
所以坐標(biāo)原點(diǎn)到 ， 的距離的比值為 .
21.（本小題滿分12分）
已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求 的解析式及單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 若 ，求 的最大值
解: (Ⅰ) ,令 得, ,
再由 ,令 得 .
所以 的解析式為 .
,易知 是 上的增函數(shù),且 .
所以
所以函數(shù) 的增區(qū)間為 ,減區(qū)間為 .
(Ⅱ) 若 恒成立,
即 恒成立，
,
(1)當(dāng) 時(shí), 恒成立, 為 上的增函數(shù),且當(dāng) 時(shí), ,不合題意;
(2)當(dāng) 時(shí), 恒成立, 則 , ;
(3)當(dāng) 時(shí), 為增函數(shù),由 得 ,
故
當(dāng) 時(shí), 取最小值 .
依題意有 ,
即 ,
, ,
令 ,則 ,
,
所以當(dāng) 時(shí), 取最大值 .
故當(dāng) 時(shí), 取最大值 .
綜上, 若 ，則 的最大值為 .
請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分，作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào).
22. （本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖， ， 分別為 邊 ， 的中點(diǎn)，直線 交 的
外接圓于 ， 兩點(diǎn).若 ，證明：
(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
證明：(Ⅰ) ∵ ， 分別為 邊 ， 的中點(diǎn)，
∴ .
, , 且 ，
又∵ 為 的中點(diǎn)， 且 ， .
， . .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ， ，
.
23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線 的參數(shù)方程是 （ 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程是 .正方形 的頂點(diǎn)都在 上，且 ， ， ， 依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn) 的極坐標(biāo)為 .
(Ⅰ)點(diǎn) ， ， ， 的直角坐標(biāo)；
(Ⅱ) 設(shè) 為 上任意一點(diǎn)，求 的取值范圍.
解：(Ⅰ)依題意，點(diǎn) ， ， ， 的極坐標(biāo)分別為.
所以點(diǎn) ， ， ， 的直角坐標(biāo)分別為 、 、 、 ；
(Ⅱ) 設(shè) ，則
.
所以 的取值范圍為 .
24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
已知函數(shù) .
(Ⅰ) 當(dāng) 時(shí)，求不等式 的解集；
(Ⅱ) 的解集包含 ，求 的取值范圍.
解：(Ⅰ) 當(dāng) 時(shí)，不等式
或 或
或 .
所以當(dāng) 時(shí)，不等式 的解集為 或 .
(Ⅱ) 的解集包含 ，
即 對(duì) 恒成立，
即 對(duì) 恒成立，
即 對(duì) 恒成立，
所以 ，即 .


本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaosan/60156.html

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