江蘇省鎮(zhèn)江市2015屆揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)3月調(diào)研試卷第Ⅰ卷2015.03. 注意事項(xiàng)及說明1．考試前請將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。2．本試卷滿分160分，考試時(shí)間120分鐘。3．考試結(jié)束時(shí)，需交答卷紙。一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案直接填寫在答卷紙相應(yīng)的位置）1．設(shè)集合,，,則 ▲ 2．已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則等于 ▲ 3．平面向量＝（－1，m），若∥，則m等于 ▲ 4．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是5．的最小正周期是，則 ▲ ．某學(xué)生參加成績的頻率分布直方圖如圖數(shù)據(jù)的分組次為[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人數(shù)是15則該班的學(xué)生人數(shù)是7．閱讀上邊的程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲ 8．已知直線和圓，若直線被圓截的弦長為時(shí)， 則 ▲ 9． ②；③．10． ▲ 11．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t＝ ▲ 12．若，則的最小值為 ▲ 13. 若數(shù)列{}是正項(xiàng)數(shù)列,且…N則…14．在△AOB中，G為△AOB的重心（三角形中三邊上中線的交點(diǎn)叫重心），且.若，則的最小值是 ▲ 二、解答題：（本大題共6小題，計(jì)90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．）15．（本小題滿分1分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足. (1) 求角A；(2) 若，，D為BC上一點(diǎn)，且,求AD的長.16．（本小題滿分1分）AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面PBQ；（2）已知點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，證明：PA∥平面BMQ。17．（本小題滿分分）設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為. (1)若首項(xiàng)公差d=1,求滿足的正整數(shù)k; (2)求所有的無窮等差數(shù)列{},使得對于一切正整數(shù)k都有成立. 18．（本小題滿分分）．（1）試用表示的面積；（2）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時(shí)的大�。�19．（本小題滿分分）經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)(0, )到直線l的距離為2（1）求橢圓E的方程；（2)A、B、C是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且｜AC｜＝｜CB｜．問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．20．（本小題滿分分）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.當(dāng)時(shí)，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.當(dāng)時(shí)，試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”？若存在，求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 第Ⅱ卷（理科附加） (滿分40分，考試時(shí)間30分鐘)1.已知矩陣的逆矩陣，求矩陣．2.在平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)分別作軸、軸的兩條垂線，垂足分別為，求矩形周長最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．3.如圖，正四棱柱中，，，點(diǎn)在棱上，且．( I )求的長； ( II)求鈍角二面角的大小．4.某品牌設(shè)計(jì)了編號(hào)依次為的種不同款式的時(shí)裝，由甲、乙兩位模特分別獨(dú)立地從中隨機(jī)選擇種款式用來拍攝廣告．( I )若，且甲在1到為給定的正整數(shù)，且號(hào)中選擇，乙在到號(hào)中選擇．記Pst為款式（編號(hào)）和同時(shí)被選中的概率，求所有的Pst的和；( II)求至少有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可的概率．．．（0，1）．；8． ；9．． ；14． 2；二、解答題：（本大題共6小題，計(jì)90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．）15．（本小題滿分1分）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且滿足. (1) 求角A；(2) 若，，D為BC上一點(diǎn)，且,求AD的長.解： (1) ∵在△ABC中，滿足由正弦定理可得， ┅3分故； ┅5分∵在△ABC中 ∴ ┅7分 (2) 由題意可得， ┅9分 ┅10分∴ ┅13分從而可得 14分16．（本小題滿分1分）AD∥BC，∠ADC＝，BC＝AD，PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面PBQ；（2）已知點(diǎn)M為線段PC的中點(diǎn)，證明：PA∥平面BMQ。證明：⑴△PAD中，PA=PD，Q為AD中點(diǎn)，∴PQ(AD，底面ABCD中，AD//BC，BC=AD,∴DQ//BC,DQ=BC ∴BCDQ為平行四邊形，由(ADC=900，∴(AQB=900，∴AD(BQ 由AD(PQ,AD(BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQ(面PBQ∴AD(平面PBQ ……………………7分⑵連接CQ,AC∩BQ=N,由AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ為平行四邊形，∴N為AC中點(diǎn)，由(PAC中，M、N為PC、AC中點(diǎn)， ∴MN//PA由MN(面BMQ，PA(面BMQ ∴面BMQ‖PA ……………………14分17．（本小題滿分分）設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為. (1)若首項(xiàng)公差d=1,求滿足的正整數(shù)k; (2)求所有的無窮等差數(shù)列{},使得對于一切正整數(shù)k都有成立. 【解】 (1)當(dāng)時(shí). 由得 即. 又k=4. ……………………6分(2)設(shè)數(shù)列{}的公差為d,則在中分別取k=1,2,得 即 由,得或. )當(dāng)時(shí),代入,得d=0或d=6. 若則從而Sk??成立?; 若則由知故不符合題意. )當(dāng)時(shí),代入,得d=0或d=2. 若則從而Sk?成立?; 若則…+從而成立. 綜上,共有3個(gè)滿足條件的無窮數(shù)列或或. 18．（本小題滿分分）．（1）試用表示的面積；（2）求八角形所覆蓋面積的最大值，并指出此時(shí)的大�。猓海�1）為,∴， …………2分， …………4分,， …………8分（2）令， …………10分只需考慮取到最大值的情況，即為， ………13分 當(dāng), 即時(shí), 達(dá)到最大 ………14分此時(shí)八角形所覆蓋面積的最大值為 ． ………15分19．（本小題滿分分）經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)(0, )到直線l的距離為2（1）求橢圓E的方程；（2)A、B、C是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱，且｜AC｜＝｜CB｜．問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．20．（本小題滿分分）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.當(dāng)時(shí)，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.當(dāng)時(shí)，試問函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”？若存在，求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（I）當(dāng)時(shí)，當(dāng)，當(dāng) ，所以函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到極小值為-2. …………（6分）（II）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)在其圖像上一點(diǎn)處的切線方程，得設(shè)且 …………（10分）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，；所以在不存在 “轉(zhuǎn)點(diǎn)”. …………（13分）當(dāng)時(shí)，，即在上是增函數(shù).當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且2是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo). …………（16分） 第Ⅱ卷（理科附加） (滿分40分，考試時(shí)間30分鐘)1.已知矩陣的逆矩陣，求矩陣．解：設(shè)，則由得，(5分) 解得所以.(10分)2.在平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)分別作軸、軸的兩條垂線，垂足分別為，求矩形周長最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．解：設(shè)（為參數(shù)），(4分) 則矩形周長為 (8分) 所以，當(dāng)時(shí)，矩形周長取最大值8， 此時(shí)，點(diǎn).(10分)3.如圖，正四棱柱中，，，點(diǎn)在棱上，且．( I )求的長； ( II)求鈍角二面角的大�。猓海�1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸 建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，， 設(shè)，其中， 因?yàn)�，所以�?即，得， 此時(shí)，即有； （2）4.某品牌設(shè)計(jì)了編號(hào)依次為的種不同款式的時(shí)裝，由甲、乙兩位模特分別獨(dú)立地從中隨機(jī)選擇種款式用來拍攝廣告．( I )若，且甲在1到為給定的正整數(shù)，且號(hào)中選擇，乙在到號(hào)中選擇．記Pst為款式（編號(hào)）和同時(shí)被選中的概率，求所有的Pst的和；( II)求至少有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可的概率．解：（1）甲從1到為給定的正整數(shù)，且號(hào)中任選兩款，乙從到號(hào)中 任選兩款的所有等可能基本事件的種數(shù)為，記“款式和同時(shí)被選中”為事件B，則事件B包含的基本事件的種數(shù)為，所以，則所有的的和為：；(4分)（2）甲從種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為：，同理得，乙從種不同款式的服裝中選取服裝的所有可能種數(shù)為，據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，所有等可能的基本事件的種數(shù)為：，記“至少有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”為事件A，則事件A的對立事件為：“沒有一個(gè)款式為甲和乙共同認(rèn)可”，而事件包含的基本事件種數(shù)為： ，所以.(10分)！第1頁 共15頁學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)�。。ǖ�3題圖）H1G1F1E1D1C1B1A1HGFEDBCA（第3題圖）H1G1F1E1D1C1B1A1HGFEDBCA江蘇省鎮(zhèn)江市2015屆揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)3月調(diào)研試卷 數(shù)學(xué)
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