第四 幾個初等函數的性質
一、基礎知識
1．指數函數及其性質：形如y=ax(a>0, a 1)的函數叫做指數函數，其定義域為R，值域為（0，+∞），當0<a<1時，y=ax是減函數，當a>1時，y=ax為增函數，它的圖象恒過定點（0，1）。
2．分數指數冪： 。
3．對數函數及其性質：形如y=logax(a>0, a 1)的函數叫做對數函數，其定義域為（0，+∞），值域為R，圖象過定點（1，0）。當0<a<1，y=logax為減函數，當a>1時，y=logax為增函數。
4．對數的性質（>0, N>0）；
1）ax= x=log¬a(a>0, a 1)；
2）log¬a¬(N)= log¬a + log¬a N；
3）log¬a（ ）= log¬a - log¬a N；4）log¬a n=n log¬a ；，
5）log¬a = log¬a ；6）alog¬a =; 7) log¬a b= (a,b,c>0, a, c 1).
5. 函數y=x+ （a>0）的單調遞增區(qū)間是 和 ，單調遞減區(qū)間為 和 。（請讀者自己用定義證明）
6．連續(xù)函數的性質：若a<b, f(x)在[a, b]上連續(xù)，且f(a)•f(b)<0，則f(x)=0在（a,b）上至少有一個實根。
二、方法與例題
1．構造函數解題。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求證：ab+bc+ca+1>0.
【證明】 設f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，則f(x)是關于x的一次函數。
所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（因為-1<a<1）.
因為f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全為0的實數，b1, b2,…,bn∈R，則（ ）•（ ）≥( )2，等號當且僅當存在 R，使a¬i= , i=1, 2, …, n時成立。
【證明】 令f(x)= （ ）x2-2( )x+ = ,
因為 >0，且對任意x∈R, f(x)≥0，
所以△=4( )-4（ ）( )≤0.
展開得（ ）( )≥( )2。
等號成立等價于f(x)=0有實根，即存在 ，使a¬i= , i=1, 2, …, n。
例3 設x, y∈R+, x+y=c, c為常數且c∈(0, 2]，求u= 的最小值。
【解】u= =xy+ ≥xy+ +2•
=xy+ +2.
令xy=t，則0<t=xy≤ ,設f(t)=t+ ,0<t≤
因為0<c≤2，所以0< ≤1，所以f(t)在 上單調遞減。
所以f(t)min=f( )= + ，所以u≥ + +2.
當x=y= 時，等號成立. 所以u的最小值為 + +2.
2．指數和對數的運算技巧。
例4 設p, q∈R+且滿足log9p= log12q= log16(p+q)，求 的值。
【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，則p=9 t , q=12 t , p+q=16t，
所以9 t +12 t =16 t，即1+
記x= ，則1+x=x2，解得
又 >0，所以 =
例5 對于正整數a, b, c(a≤b≤c)和實數x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且 ，求證：a+b=c.
【證明】 由ax=by=cz=70w取常用對數得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70，
相加得 (lga+lgb+lgc)= lg70，由題設 ，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，則因為xlga=wlg70，所以w=0與題設矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c為70的正約數，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x 1, ac 1, a 1, c 1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.
【證明】 由題設logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對數，得
，
因為ac>0, ac 1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指數與對數式互化，取對數，換元，換底公式往往是解題的橋梁。
3．指數與對數方程的解法。
解此類方程的主要思想是通過指對數的運算和換元等進行化簡求解。值得注意的是函數單調性的應用和未知數范圍的討論。
例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化為 =1。設f(x)= , 則f(x)在(-∞,+∞)上是減函數，因為f(3)=1，所以方程只有一個解x=3.
例8 解方程組： （其中x, y∈R+）.
【解】 兩邊取對數，則原方程組可化為 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y>0，所以y=2, x=4.
所以方程組的解為 .
例9 已知a>0, a 1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。
【解】由對數性質知，原方程的解x應滿足 .①②③
若①、②同時成立，則③必成立，
故只需解 .
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
當k=0時，④無解；當k 0時，④的解是x= ，代入②得 >k.
若k<0，則k2>1，所以k<-1；若k>0，則k2<1，所以0<k<1.
綜上，當k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)時，原方程有解。
三、基礎訓練題
1．命題p: “(log¬23)x-(log¬53)x≥(log¬23)-y-(log¬53)-y”是命題q:“x+y≥0”的_________條。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，則x1+x2=_________.
3．已知f(x)是定義在R上的增函數，點A（-1，1），B（1，3）在它的圖象上，y=f-1(x)是它的反函數，則不等式f-1(log2x)<1的解集為_________。
4．若log2a <0，則a 取值范圍是_________。
5．命題p: 函數y=log¬¬2 在[2，+∞）上是增函數；命題q: 函數y=log2(ax2-4x+1)的值域為R，則p是q的_________條。
6．若0<b<1, a>0且a 1，比較大�。簂oga(1-b)_________loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域為_________。
8．若x= ，則與x最接近的整數是_________。
9．函數 的單調遞增區(qū)間是_________。
10．函數f(x)= 的值域為_________。
11．設f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x•a]，其中n為給定正整數, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]時有意義，求a的取值范圍。
12．當a為何值時，方程 =2有一解，二解，無解？
四、高考水平訓練題
1．函數f(x)= +lg(x2-1)的定義域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈ 時恒成立，則m的取值范圍是_________.
3．若x∈{xlog2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln ，則使f(a)+f(b)= _________.
5. 命題p: 函數y=log¬2 在[2，+∞）上是增函數；命題q：函數y=log2(ax2-4x+1)的值域為R，則p是q的_________條.
6．若0<b<1, a>0且a 1，比較大�。簂og¬a(1-b) _________log¬a(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，則函數y=[f(x)]2+f(x2)的值域為_________.
8．若x= ，則與x最接近的整數是_________.
9．函數y= 的單調遞增區(qū)間是_________.
10．函數f(x)= 的值域為_________.
11．設f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x•a]，其中n為給定正整數，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]時有意義，求a的取值范圍。
12．當a為何值時，方程 =2有一解，二解，無解？
四、高考水平訓練題
1．函數f(x)= +lg(x2-1)的定義域是__________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈ 時恒成立，則m的取值范圍是 ________.
3．若x∈{xlog2x=2-x}，則x2, x, 1從大到小排列是________.
4．若f(x)=ln ，則使f(a)+f(b)= 成立的a, b的取值范圍是________.
5．已知an=logn(n+1)，設 ，其中p, q為整數，且(p ,q)=1，則p•q的值為_________.
6．已知x>10, y>10, xy=1000，則(lgx)•(lgy)的取值范圍是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一個實數解，則實數k的取值范圍是________.
8．函數f(x)= 的定義域為R，若關于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7個不同的實數解，則b, c應滿足的充要條是________.
（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)= x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t 0)，則F(x)是________函數（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg ，若 =1， =2，其中a<1, b<1，則f(a)+f(b)=________.
11．設a∈R，試討論關于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實數解的個數。
12．設f(x)=lgx，實數a, b滿足0<a<b, f(a)=f(b)=2f ，求證：
（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4.
13．設a>0且a 1, f(x)=loga(x+ )(x≥1)，（1）求f(x)的反函數f-1(x)；（2）若f-1(n)< (n∈N+)，求a的取值范圍。
五、聯(lián)賽一試水平訓練題
1．如果log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0，那么將x, y, z從小到大排列為___________.
2．設對任意實數x0> x1> x2> x3>0，都有l(wèi)og 1993+ log 1993+ log 1993> klog 1993恒成立，則k的最大值為___________.
3．實數x, y滿足4x2-5xy+4y2=5，設S=x2+y2，則 的值為___________.
4．已知0<b<1, 00<α<450，則以下三個數：x=(sinα)logbsina, y=(cosα) logbsina, z=(sinα) logbsina從小到大排列為___________.
5．用[x]表示不超過x的最大整數，則方程lg2x-[lgx]-2=0的實根個數是___________.
6．設a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，記a, b, c中的最大數為，則的最小值為___________.
7．若f(x)(x∈R)是周期為2的偶函數，當x∈[0,1]時，f(x)= ，則 ， 由小到大排列為___________.
8．不等式 +2>0的解集為___________.
9．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）試畫出由方程 所確定的函數y=f(x)圖象。
（2）若函數y=ax+ 與y=f(x)的圖象恰有一個公共點，求a的取值范圍。
11．對于任意n∈N+(n>1)，試證明：[ ]+[ ]+…+[ ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、聯(lián)賽二試水平訓練題
1．設x, y, z∈R+且x+y+z=1，求u= 的最小值。
2．當a為何值時，不等式log •log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一個解（a>1且a 1）。
3．f(x)是定義在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函數，滿足條；對于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)] [f(y)] ①都成立，試確定所有這樣的函數f(x).
4. 求所有函數f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．設m≥14是一個整數，函數f：N→N定義如下：
f(n)= ,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定義在有理數集上且滿足下列條的所有函數f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)•f(y), x, y∈Q.
7．是否存在函數f(n)，將自然數集N映為自身，且對每個n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．設p, q是任意自然數，求證：存在這樣的f(x) ∈Z(x)（表示整系數多項式集合），使對x軸上的某個長為 的開區(qū)間中的每一個數x, 有
9．設α，β為實數，求所有f: R+→R，使得對任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2•f 成立。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/gaosan/40809.html
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