中山市高三級(jí)2015—2015學(xué)年度第一學(xué)期期末統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（科）本試卷共4頁，20小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1、答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、統(tǒng)考考號(hào)、座位號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上.3、不可以使用計(jì)算器.4、考試結(jié)束，將答題卡交回，試卷不用上交.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．設(shè)全集是實(shí)數(shù)集,,則（ ） A．B． C．D．【答案】A【解析】試題分析：或,則，故選A.考點(diǎn)：1.一元二次不等式；2.集合的運(yùn)算.3．已知平面向量，，若∥，則等于( )A．B．C．D．4．已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，則( )A．36B．42C．45D．635．在某次測(cè)量中得到的樣本數(shù)據(jù)如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù),則,兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（ ）A．眾數(shù)B．平均數(shù)C．中位數(shù)D．標(biāo)準(zhǔn)差6．如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為（ ）A. B． C．D．7．如圖，定義某種運(yùn)算，運(yùn)算原理如右圖所示，則式子的值為（ ）A．11 B．13C．8D．4【答案】C【解析】試題分析：該算法是一個(gè)分段函數(shù)故原式==2×（1+1）+2×（3-1）=8．故答案為C.考點(diǎn)：1.框圖的運(yùn)用;2.對(duì)數(shù)、三角函數(shù)運(yùn)算.8．若一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱與底面垂直的棱柱的三視圖如下圖所示，則該棱柱的體積為（ ）A．B．C．D．69．已知函數(shù)滿足，且時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )A．11B．10C．9 D．8【答案】C10．對(duì)、，運(yùn)算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴⑵⑶⑷A．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑶、⑷【答案】B【解析】試題分析：由定義知，則，；所以；若則，，所以；則⑴恒成立，則，；所以；若則，，所以；則⑶恒成立則，，所以，；則⑵⑷不恒成立正確答案B. 考點(diǎn)：性質(zhì)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.）11. .12．已知函數(shù)，則 .13．若變量滿足線性約束條件，則的最大值為________．【答案】5【解析】試題分析：由約束條件?，得如圖所示的三角形區(qū)域，由得直線過點(diǎn)時(shí)，取得最大值為5．考點(diǎn)：線性規(guī)劃14．已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 故答案為：．考點(diǎn)：1.函數(shù)零點(diǎn)的定義； 2.二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.三、解答題（ 本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15．（本題滿分12分）設(shè)平面向量，，函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;（Ⅱ）當(dāng),且時(shí),求的值.（Ⅰ） 函數(shù)的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因?yàn)樗缘?………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）.考點(diǎn)：1.正弦函數(shù)的定義域和值域、正弦函數(shù)的單調(diào)性；2. 三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值；3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.16．（本題滿分12分）某學(xué)校餐廳新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐銷售情況的條形圖如下為了了解同學(xué)對(duì)新推出的四款套餐的評(píng)價(jià)，對(duì)每位同學(xué)都進(jìn)行了問卷調(diào)查，然后用分層抽樣的方法從調(diào)查問卷中抽取20份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面表格所示：滿意一般不滿意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20%40%（Ⅰ）若同學(xué)甲選擇的是A款套餐，求甲的調(diào)查問卷被選中的概率；（Ⅱ）若想從調(diào)查問卷被選中且填寫不滿意的同學(xué)中再選出2人進(jìn)行面談，求這兩人中至少有一人選擇的是D款套餐的概率. 【答案】（Ⅰ）0.1；（Ⅱ）【解析】試題分析：（I）由條形圖可得，選擇A，B，C，D四款套餐的學(xué)生共有200人，其中選A款套餐的學(xué)生為40人，由分層抽樣可得從A款套餐問卷中抽取的人數(shù)． 17．（本題滿分14分）2，底面半徑為,AE、DF是圓柱的兩條母線，過作圓柱的截面交下底面于, 四邊形ABCD是正方形.（Ⅰ）（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】試題分析：AE是圓柱的母線，所以下底面，下底面， 又截面ABCD是正方形，⊥，又⊥面，又面，18. （本小題滿分14分）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，．（I）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）若，．求不超過的最大整數(shù)的值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（）【解析】考點(diǎn)：1.遞推關(guān)系；2.等比數(shù)列的概念；3.數(shù)列求和.19．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)（I）若，且對(duì)于任意恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（II）設(shè)函數(shù)，求證：【答案】（I）（Ⅱ）見解析【解析】試題分析：（I）是偶函數(shù)，只需研究對(duì)任意成立即可，即當(dāng)時(shí)由此可得，在上，．依題意，，又．綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是． ……………………（7分）20．已知函數(shù)，，，其中，且.⑴當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值； ⑵求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑶設(shè)函數(shù)若對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】⑴-1; ⑵見解析; ⑶【解析】試題分析：令g′（x）=0求出根，判斷g′（x）左右兩邊的符號(hào)，g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減g（x）g（）求出最值①當(dāng)時(shí)，∵在上是減函數(shù)，則在上不存在實(shí)數(shù)（），使得，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴；②當(dāng)時(shí)，在時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則，要在上存在非零實(shí)數(shù)（），使得成立，必定有，∴.綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為. ……………（14分）考點(diǎn)：1.函數(shù)的最值、單調(diào)性；2.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用. 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 每天發(fā)布最有價(jià)值的高考資源 1 1 每天發(fā)布最有價(jià)值的廣東省中山市2015屆高三上學(xué)期期末考試試題（數(shù)學(xué) 文）
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