2013 2014學(xué)年度第一學(xué)期期末高三聯(lián)考試卷 數(shù)學(xué)一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1．已知全集U=R,集合 ▲ ．2．若，其中都是實數(shù)，是虛數(shù)單位，則= ▲ ．3．某校對全校男女學(xué)生共1600名進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是 ▲ 人．4．集合A＝{2，3}B＝{1，2，3}, 從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是 ▲ ． 5．若“”是“”的充分不必要條件,則實數(shù)的取值范圍是 ▲ ．6．按右面的程序框圖運(yùn)行后,輸出的應(yīng)為 ▲ ．7．已知等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的前8項和為 ▲ ．8．長方體中,,則四面體的體積為 ▲ ．9．函數(shù)的圖像如圖，則= ▲ ．10．已知平面向量，，若，則的值為 ▲ ．11．已知橢圓和圓,若上存在點(diǎn),使得過點(diǎn)引圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,滿足,則橢圓的離心率的取值范圍是 ▲ ．12．定義域為的偶函數(shù)滿足對,有,且當(dāng) 時,,若函數(shù)在上至少有三個零點(diǎn),則的取值范圍是 ▲ ．13．如圖，點(diǎn)C為半圓的直徑AB延長線上一點(diǎn)，AB=BC=2，過動點(diǎn)P作半圓的切線PQ，若,則的面積的最大值為 ▲ ．14．已知三次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的最小值為 ▲ ． 二．解答題：(本大題共6個小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15．已知函數(shù).(1)求的值;(2)設(shè)的值16．如圖四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中點(diǎn)G是AEDF的交點(diǎn).（1）求證GH∥平面CDE；（2）求證面ADEF面ABCD. 某企業(yè)有兩個生產(chǎn)車間分別在、兩個位置，車間有100名員工，車間有400名員工�，F(xiàn)要在公路上找一點(diǎn),修一條公路，并在處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐。已知、、中任意兩點(diǎn)間的距離均有，設(shè)，所有員工從車間到食堂步行的總路程為.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；（2）問食堂建在距離多遠(yuǎn)時，可使總路程最少已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,A、B是橢圓上位 于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn),(i)若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;(ii)當(dāng)A、B運(yùn)動時,滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由. 19．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項的和為，數(shù)列的前項的和為，且．對恒成立，求的最小值；⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值．在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；(3)設(shè)為正實數(shù)，且，求證：． 2013 2014學(xué)年度第一學(xué)期高三聯(lián)考試卷 數(shù)學(xué)一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1．已知全集U=R,集合{xx≤2}2．若，其中都是實數(shù)，是虛數(shù)單位，則= . 3．某校對全校男女學(xué)生共1600名進(jìn)行健康調(diào)查，選用分層抽樣法抽取一個容量為200的樣本．已知女生比男生少抽了10人，則該校的女生人數(shù)應(yīng)是 人．答案：7604．集合A＝{2，3}B＝{1，2，3}, 從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是 5．若“”是“”的充分不必要條件,則實數(shù)的取值范圍是6．按右面的程序框圖運(yùn)行后,輸出的應(yīng)為 407．已知等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的前8項和為． 255長方體中,,則四面體的體積為_____________.6的圖像如圖，則= 110．已知平面向量，，若，則的值為 11．已知橢圓和圓,若上存在點(diǎn),使得過點(diǎn)引圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,滿足,則橢圓的離心率的取值范圍是 ▲ 12．定義域為的偶函數(shù)滿足對,有,且當(dāng) 時,,若函數(shù)在上至少有三個零點(diǎn),則的取值范圍是13．如圖，點(diǎn)C為半圓的直徑AB延長線上一點(diǎn)，AB=BC=2，過動點(diǎn)P作半圓的切線PQ，若,則的面積的最大值為 14．已知三次函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則的最小值為 二．解答題：(本大題共6個小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15．已知函數(shù).(1)求的值;(2)設(shè)的值【答案】解: (1) …………………………6分(2) …8分…10分 …………12分 ……………14分16．如圖四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中點(diǎn)G是AEDF的交點(diǎn).（1）求證GH∥平面CDE；（2）求證面ADEF面ABCD.證明：⑴是的交點(diǎn)，∴是中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴中，， ……………………2分 ∵ABCD為平行四邊形∴AB∥CD ∴，……………………4分又∵∴平面 …………………7分⑵， 所以， ………………9分 又因為四邊形為正方形，， ………………10分，，- ………………12分. …………………………14分17．某企業(yè)有兩個生產(chǎn)車間分別在、兩個位置，車間有100名員工，車間有400名員工。現(xiàn)要在公路上找一點(diǎn),修一條公路，并在處建一個食堂，使得所有員工均在此食堂用餐。已知、、中任意兩點(diǎn)間的距離均有，設(shè)，所有員工從車間到食堂步行的總路程為.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；（2）問食堂建在距離多遠(yuǎn)時，可使總路程最少解：（1）在中，，………………2分，則�！�4分，其中。 ……6分（2）�！�8分令得。記……………………10分當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時，取得最小值�！�12分此時，，答：當(dāng)時，可使總路程最少�！�14分已知橢圓C的中點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)P(2,3),Q(2,-3)在橢圓上,A、B是橢圓上位 于直線PQ兩側(cè)的動點(diǎn),(i)若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值;(ii)當(dāng)A、B運(yùn)動時,滿足∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請說明理由.解:(1)設(shè)橢圓的方程為則. 由,得∴橢圓C的方程為 ……………………………4分(2)(i)解:設(shè),直線的方程為,代入,得 由,解得 由韋達(dá)定理得.……………………………6分四邊形的面積∴當(dāng), ……………………………9分(ii)解:當(dāng),則、的斜率之和為0,設(shè)直線的斜率為則的斜率為,的直線方程為由 (1)代入(2)整理得………11分同理的直線方程為,可得∴ [來源 …………… 所以的斜率為定值 ……………………………16分19．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項的和為，數(shù)列的前項的和為，且．對恒成立，求的最小值；⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值．，其中是數(shù)列的前項和，是數(shù)列的前項和，且，當(dāng)時，由，解得，……………………………………2分當(dāng)時，由，解得； …………………………4分由，知，兩式相減得，即，…………5分亦即，從而，再次相減得，又，所以所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列， …………………………………7分其通項公式為 ． ……………………………………………………8分（2）由（1）可得，， ……10分若對恒成立，只需對恒成立，因為對恒成立，所以,即的最小值為3；…………12分（3）若成等差數(shù)列，其中為正整數(shù)，則成等差數(shù)列，整理得，…………………………………………………………………14分當(dāng)時，等式右邊為大于2的奇數(shù)，等式左邊是偶數(shù)或1，等式不能成立，所以滿足條件的值為．……………………………………………16分20．已知函數(shù)．(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(Ⅱ)若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；(Ⅲ)設(shè)為正實數(shù)，且，求證：．解: （Ⅰ）……2分………4分 ………6分……………8分…………12分T=3i－1S=0,i=1開始否i>5?第題圖DCBAPCBAO-2-3結(jié)束輸出S是i= i+1S=S+TT=3i－1S=0,i=1開始否i>5?S=S+Ti= i+1是輸出S結(jié)束-3-2OABCPQABCD第題圖江蘇省如東縣四校2014屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
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