高三理科數(shù)學
第Ⅰ卷 （ 50分）
一、（本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知復數(shù) 滿足 ，那么復數(shù) 的虛部為（ ）
A. 1 B. C. D.
2. 已知 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
3. 下列四個命題中，假命題為（ ）
A. 存在 ，使 B.存在 ，使
C. 任意 ，使 D. 任意 ，使
4. 已知向量 ， ，若A，B，C是銳角 的三個內(nèi)角，則 與 的夾角為（ ）
A.銳角 B. 直角 C. 鈍角 D. 以上都不對
5. 從一個棱長為1的正方體中切去一部分，得到一個幾何體，其三視圖如下圖，則該幾何體的體積為（ ）
A. B. C. D.
6. 執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，則輸出 的結果是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7. 定義運算 * ，則函數(shù) 的圖像是（ ）
8. 已知數(shù)組 ， ，…， 滿足線性回歸方程 ，則“ 滿足線性回歸方程 ”是“ ， ”的（ ）
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
9. 若圓 ： 關于直線 對稱，則 的最小值是（ ）
A. 2 B. C. D.
10. 如圖，是中國西安世界園藝博覽會某區(qū)域的綠化美化示意圖，其中A、B、C、D是被劃分的四個區(qū)域，現(xiàn)用紅、黃、藍、白4種不同顏色的花選栽，要求每個區(qū)域只能栽同一種花，允許同一顏色的花可以栽在不同的區(qū)域，但相鄰的區(qū)域不能栽同一色花，則A、D兩個區(qū)域都栽種紅花的概率是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）
二、題：（本小題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填寫在題中的橫線上）
11. 在二項式 的展開式中，各項系數(shù)之和為 ，各項二項式系數(shù)之和為 ，且
，則 .
12. 設 是定義在R上最小正周期為 的函數(shù)，且在 上 ，則 的值為 .
13. 有一個奇數(shù)列1, 3, 5, 7, 9，…，現(xiàn)在進行如下分組：第一組含一個數(shù) ，第二組含兩個數(shù) ，第三組含三個數(shù) ，第四組含四個數(shù) ，…，現(xiàn)觀察猜想每組內(nèi)各數(shù)之和為 與其組的編號數(shù) 的關系為 .
14. 設橢圓 的中心、右焦點、右頂點依次分別為 、 、 ，且直線 與 軸相交于點 ，則 最大時橢圓的離心率為 .
15. （考生注意：請在下列三道試題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
A.（不等式選做題）若不等式 對一切非零實數(shù) 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為 .
B.（幾何證明選做題）如右圖，直角三角形 中， ， ，以 為直徑的圓交 邊于點 ， ，則 的大小為 .
C.（極坐標與參數(shù)方程選做題）若直線 的極坐標方程為 ，圓 ： （ 為參數(shù)）上的點到直線 的距離為 ，則 的最大值為 .
三、解答題：（本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
16. （本大題滿分12分）
已知函數(shù) （其中 ）的圖像如圖所示.
（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）求函數(shù) 的零點.
17.（本大題滿分12分）
已知等比數(shù)列 中， 是 與 的等差中項，且 ， .
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）已知數(shù)列 滿足： ，（ ），求數(shù)列 前 項和
18. （本小題滿分12分）
如圖直三棱柱 中， ， 是 上一點，且 平面 .
（1）求證： 平面 ；
（2）在棱 是否存在一點 ，使平面 與平面 的夾角等于 ，若存在，試確定 點的位置，若不存在，請說明理由.
19.（本小題滿分12分）
某批發(fā)市場對某種商品的日銷售量（單位：噸）進行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng)計結果如下：
若以下表頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立.
日銷售量11.52
頻數(shù)102515
頻率0.2
（1）求 的值
（2）5天中該種商品恰好有2天的銷售量為1.5噸的概率；
（3）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元， 表示該種商品兩天銷售利潤的和（單位：千元），求 的分布列及數(shù)學期望
20.（本小題滿分13分）
已知拋物線 ，過點 （其中 為正常數(shù)）任意作一條直線 交拋物線 于 兩點， 為坐標原點.
（1）求 的值；
（2）過 分別作拋物線 的切線 ，試探求 與 的交點是否在定直線上，證明你的結論.
21. （本小題滿分14分）
已知函數(shù) ， .
（1）若直線 交 的圖像 于 兩點，與 平行的另一條直線 切圖像于 ，求證： 三點的橫坐標成等差數(shù)列；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范圍；
（3）求證： （其中 為無理數(shù)，約為2.71828）.
理科數(shù)學答案
一、選擇題
題號12345678910
答案BDDACBDBAA
二．題
11． ； 12. ； 13. ； 14. ；
15．A. ；B. ; C. .
三、解答題
16．解：（Ⅰ）由圖知 , ,
∴ ……………3分
∴ 又∵
∴sin( )=1, ∴ = ,j= + ,(kÎZ)
∵ ,∴j=
∴函數(shù)的解析式為 ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，
∴ ……………9分
即
∴函數(shù) 的零點為 ……………12分
17．解：(I)由已知得
……………6分
(II)當 時 ，
因為
當 ≥ 時
兩式相減得 ，得 . ……………10分
……………12分
18．證明：（Ⅰ）∵ 平面 ，∴ .
∵ 是直三棱柱，∴ 平面 ，∴ .
∵ ， 平面 , 平面 ,
∴ 平面 . ……………6分
（Ⅱ） 平面 .∴ .又 ，于是可建立如圖所示的空間直角坐標系 .∵ 是等腰直角三角形，且斜邊 ，
∴ .
從而，
設存在滿足條件的點 坐標為
由（Ⅰ）知平面 的法向量 = , …6分
令平面 的法向量
，
令 得 .
平面 與平面 的夾角等于
∴ ，的
所以當 為棱 中點時平面 與平面 的夾角等于 . ……………12分
19．解：（I）表中 ……………2分
（II）依照題意得一天的銷售量為1.5噸的概率
5天中該種商品恰好有 天的銷售量為1.5，則
……………6分
（Ⅲ） 的取值為4,5,6，7,8
； ；
； ；
……………9分
的分布列為
45678
0.040.20.370.30.09
……………12分
20．解：(Ⅰ)設直線 方程為 ，
消去 得 ，所以
=
故 . ……………6分
（Ⅱ）
方程為 整理得
同理得 方程為 ……………9分
聯(lián)立方程
得 ，
故 的交點在定直線 上. ……………13分
21．解：（Ⅰ）設切點 的橫坐標為 , 點的橫坐標分別為 ；
因為 ，所以 ；令 方程為
消去 得 ，當 時
，所以 三點的橫坐標成等差數(shù)列. ……………4分
（Ⅱ）令 ， ，
令 ，得 ，所以 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 ， = ，只要 即可，
得 且 ，即 . ……………10分
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得 ，即 ，所以
……………14分
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