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石室中學(xué)高2014屆2013-2014學(xué)年度上期“一診”模擬考試（二）
數(shù)學(xué)（理科）試題
一．：本大題共有10個小題，每小題5分，共50分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
1. 已知全集 ,集合 , ,則集合 （ ）
A． B． C． D．
2. 復(fù)數(shù) （ 為虛數(shù)單位）的模是（ ）
A. B. C.5 D.8
3. 下列命題的否定為假命題的是（ ）
A. B. ，
C.所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù) D.
4. 已知 的面積為2，在 所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn) 、 ，滿足 , ,則 的面積為（ ）
A. B. C. D.
5. 將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法
的種數(shù)為 （ ）
A．10 B．20 C．30 D．40

6. 右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）
A． 　　　　　 B． 　　
C． 　　 D．

7. 執(zhí)行右圖所示的程序框圖（其中 表示不超過 的最大整數(shù)），
則輸出的 值為（ ）
A.7 B.6 C.5 D.4

8. 將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位長度后得到函數(shù) 的圖象，若 、 的圖象都經(jīng)過點(diǎn) ，則 的值可以是（ ）
A． B． C． D．
9. 已知 ，若向量 與向量 共線，則 的最大值為（ ）
A．6 B．4 C．3 D．
10. 定義域?yàn)镽的函數(shù) 滿足 時， 若 時， 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.

二、題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11. 已知 則 =
12. 在區(qū)間 上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù) ，則事件“ ”發(fā)生的概率為______
13. 若等比數(shù)列 的第 項(xiàng)是二項(xiàng)式 展開式的常數(shù)項(xiàng)，則
14. 已知函數(shù) ，則關(guān)于 的不等式 的解集是_______
15. 若直線 與曲線 恰有四個公共點(diǎn)，則 的取值集合是______

三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù) .其中
（1）求 的最小正周期；
（2）當(dāng) 時，求實(shí)數(shù) 的值，使函數(shù) 的值域恰為 并求此時 在 上的對稱中心.

17．（本小題滿分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，
側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，
且 ．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

18．（本小題滿分12分）設(shè)等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，且 ， ．
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列 前n項(xiàng)和為 ，且 ，令 ．求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 .

19．（本小題滿分12分）某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（k/t）分成六段： 后得到如圖4的頻率分布直方圖．問：（1）求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值.（2）若從車速在 的車輛中任抽取2輛，求抽出的2輛車中車速在 的車輛數(shù) 的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．

20．（本小題滿分13分）已知函數(shù)
⑴當(dāng) 時，若函數(shù) 存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍并討論零點(diǎn)個數(shù)；
⑵當(dāng) 時，若對任意的 ，總存在 ，使 成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

21．（本小題滿分14分）已知函數(shù) .
（1）當(dāng) 時，求函數(shù) 在 上的最大值；
（2）令 ，若 在區(qū)間 上不單調(diào)，求 的取值范圍；
（3）當(dāng) 時，函數(shù) 的圖象與 軸交于兩點(diǎn) ，且 ，又 是 的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù) 滿足條件 .證明： .

石室中學(xué)高2014屆一診模擬考試(二)數(shù)學(xué)理科答案

一、：本大題共10小題，每小題5分，共50分．
題號12345678910
答案CADCBBABAD
二、題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11. ； 12. ；13.　　 　�。�14. ； 15. .
三、解答題：本大題共6小題，共75分．
16. (本小題滿分12分)
解：
………………………4分
∴函數(shù) 的最小正周期T= 。……………5分
（2）
又 ，…………8分
令 ，解得 ，對稱中心為 。………..12分
17. (本小題滿分12分)
解：（Ⅰ）證明：取 的中點(diǎn)， ，

為 的中點(diǎn)，又 為 的中點(diǎn)，∴ ，
在三棱柱 中， 分別為 的中點(diǎn)，
，且 ，
則四邊形A1DB為平行四邊形， ，
，又 平面 ， 平面 ，
平面 ．5分
（Ⅱ）連接D，分別以 、 、 所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則 ， ， ， ，
∴ ， ， ．
設(shè)面BC1D的一個法向量為 ，面BC1E的一個法向量為 ，
則由 得 取 ，
又由 得 取 ，
則 ，……………11分
故二面角E－BC1－D的余弦值為 ．……………12分
18. (本小題滿分12分)
解（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，
∵ ， ， ∴ , ，
所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ；5分
（Ⅱ）因?yàn)?，
當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， ，
且 時滿足 ，8分
所以數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 ；
所以 ，所以 ，
所以 ．12分
19. (本小題滿分12分)
解：（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于 （2分）

設(shè)圖中虛線所對應(yīng)的車速為 ，則中位數(shù)的估計(jì)值為：
，解得
即中位數(shù)的估計(jì)值為 (5分)
（2）從圖中可知，車速在 的車輛數(shù)為： （輛），
車速在 的車輛數(shù)為： （輛） (7分)
∴ ，
， ， ，
的分布列為

012

(10分)
均值 . (12分
20. (本小題滿分13分)
解: ⑴令 ，
函數(shù) 圖象的對稱軸為直線 ，要使 在 上有零點(diǎn)，
則 即
所以所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是 . ……3分
當(dāng) 時，2個零點(diǎn)；當(dāng) 或 ，1個零點(diǎn)……………7分
⑵當(dāng) 時，
所以當(dāng) 時， ，記 .
由題意，知 ，當(dāng) 時， 在 上是增函數(shù)，
，記 .
由題意，知
解得 ……9分
當(dāng) 時， 在 上是減函數(shù)，
，記 .
由題意，知
解得 ……11分
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 ……..12分
21. (本小題滿分14分)
解（1）
函數(shù) 在[ ,1]是增函數(shù)，在[1,2]是減函數(shù)，……………3分
所以 ． ……4分
（2）因?yàn)?，所以 ， ……5分
因?yàn)?在區(qū)間 上不單調(diào)，所以 在（0，3）上有實(shí)數(shù)解，且無重根，
由 ，有 = ，（ ） ……6分
又當(dāng) 時， 有重根 ， ……7分
綜上 ……8分
（3）∵ ，又 有兩個實(shí)根 ，
∴ ，兩式相減，得 ，
∴ , ……10分
于是
． ……11分
．
要證： ，只需證：
只需證： ．(*) ……12分
令 ，∴(*)化為 ，只證 即可． 在（0，1）上單調(diào)遞增， ，即 ．∴ ．……14分