珠海市9月高三摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題
一、：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應(yīng)選項.
1.已知集合 ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù) （ �。�
A. B. C. D.
3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞增的函數(shù)為（ �。�
A． B． C． D．
4.在 中，“ ”是“ ”的（ �。�
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5.如圖，在 中，點(diǎn) 是 邊上靠近 的三等分點(diǎn)，則 （ �。�
A． B． C． D．
6 .已知 滿足約束條件 ，則 的最小值為（ ）
A . B. C. D.
7.一簡單組合體的三視圖及尺寸如圖(1)示（單位: ）則該組合體的體積為（ �。�
A. 72000 B. 64000
C. 56000 D. 44000
8. 對于函數(shù) ，如果存在區(qū)間 ，同時滿足下列條件：① 在 內(nèi)是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是 時， 的值域也是 ，則稱 是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．若函數(shù) 存在“和諧區(qū)間”，則 的取值范圍是（ �。�
A． B． C． D．
二、題：本大題共7小題，每小題5分，考生做答6小題，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應(yīng)位置.
9.不等式 的解集是 ．
10.在二項式 的展開式中，含 項的系數(shù)是 ，則實(shí)數(shù) 的值為 ．
11.設(shè)等比數(shù)列 的公比 ，則 ．
12.直線 是函數(shù) 的切線，則實(shí)數(shù) ．
13.在 中， ， ， ，則 ．
14．（幾何證明選講選做題）
如圖， 圓 的直徑
.
15．(極坐標(biāo)選做題）極坐標(biāo)系中，曲線 上的點(diǎn)到直線 的距離的最大值是 .
三、解答題:本題共有6個小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16. （本小題滿分12分）已知函數(shù) .
（1）求 的最小正周期和最小值； （2）若 且 ，求 的值.
17. （本小題滿分12分）某大學(xué)一個專業(yè)團(tuán)隊為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有A、B、C三種軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團(tuán)隊調(diào)查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：
班級一二三四
人數(shù)3234
（1）從這12人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好來自同一班級的概率；
（2）從這12名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時間每人選擇一款軟件，其中選A、B兩個軟件學(xué)習(xí)的概率都是 ，且他們選擇A、B、C任一款軟件都是相互獨(dú)立的。設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時間選軟件C的人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望．
18. （本小題滿分14分）在邊長為 的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 ,構(gòu)成一個三棱錐．
（1）請判斷 與平面 的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）證明 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值．
19. （本小題滿分14分）若正數(shù)項數(shù)列 的前 項和為 ，首項 ，點(diǎn) 在曲線 上.
（1）求 ；
（2）求數(shù)列 的通項公式 ；
（3）設(shè) , 表示數(shù)列 的前項和,若 恒成立，求 及實(shí)數(shù) 的取值范圍.
20. （本小題滿分14分）已知點(diǎn) 的坐標(biāo)分別是 、 ，直線 相交于點(diǎn) ，且它們的斜率之積為 ．
(1)求點(diǎn) 軌跡 的方程；
(2)若過點(diǎn) 的直線 與(1)中的軌跡 交于不同的兩點(diǎn) ，試求 面積的取值范圍（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
21.（本小題滿分14分）已知函數(shù) （ ）．
（1）當(dāng) 時，求 在 上的最小值；
（2）若函數(shù) 在 上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（3）若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
珠海市9月高三摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)
試題與參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應(yīng)選項.
1.（集合）已知集合 ， ，則 （ �。�
A. B. C. D.
2.（復(fù)數(shù)的除法）復(fù)數(shù) （ �。�
A. B. C. D.
3.（函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 上單調(diào)遞增的函數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
4.（充要條件）在 中，“ ”是“ ”的（ �。�
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件K$s5u
5.（向量）如圖，在 中，點(diǎn) 是 邊上靠近 的三等分點(diǎn)，則 （ �。�
A． B．
C． D．
6.（線性規(guī)劃）已知 滿足約束條件 ，則 的最小值為（ ）
A . B. C. D.
7.（三視圖）一簡單組合體的三視圖及尺寸如圖(1)示（單位: ）則該組合體的體積為（ �。�
A. 72000 B. 64000
C. 56000 D. 44000
8.（信息題）對于函數(shù) ，如果存在區(qū)間 ，同時滿足下列條件：① 在 內(nèi)是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是 時， 的值域也是 ，則稱 是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”．若函數(shù) 存在“和諧區(qū)間”，則 的取值范圍是（ �。�
A． B． C． D．
二、題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．請將答案填在答題卡相應(yīng)位置.
9.（絕對值不等式）不等式 的解集是 ．
10.（二項展開式）在二項式 的展開式中，含 項的系數(shù)是 ，則實(shí)數(shù) 的值為 ．
11.（等比數(shù)列）設(shè)等比數(shù)列 的公比 ，則 ．
12.（導(dǎo)數(shù)）直線 是函數(shù) 的切線，則實(shí)數(shù) ．
13.（解三角形）在 中， ， ， ，則 4 ．
14．（幾何證明選講選做題）
如圖， 圓 的直徑
.
15．(極坐標(biāo)選做題）極坐標(biāo)系中，曲線 上的點(diǎn)到直線 的距離的最大值是 .
三、解答題:本題共有6個小題，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．
16.（三角函數(shù)）已知函數(shù)
（1）求 的最小正周期和最小值； （2）若 且 ，求 的值.
解：（1） ，……………4分
所以 ，當(dāng) 時， 有最小值 …………………………6分
（2） ，
所以 ……………………………………………………………………………………10分
因為 ，所以 ，所以 ，
所以 ……………………………………………………………………………12分
17.（概率）某大學(xué)一個專業(yè)團(tuán)隊為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有A、B、C三種軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團(tuán)隊調(diào)查了這個專業(yè)大一四個班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表
班級一二三四
人數(shù)3234
（1）從這12人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好來自同一班級的概率．
（2）從這12名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時間每人選擇一款軟件，其中選擇A、B兩個軟件學(xué)習(xí)的概率每個都是 ，且他們選擇A、B、C任一款軟件都是相互獨(dú)立的。設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時間選軟件C的人數(shù)為 ，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望。
解：(1)設(shè)“從這12人中隨機(jī)抽取2人，這2人恰好來自同一班級”的事件為
則 …………………………………………………………………3分
答：從這12人中隨機(jī)抽取2人，這2人恰好來自同一班級的概率是 …………………………4分
(2) …………………………………………………………………………………………5分
由題設(shè)知，每個人選軟件C概率均為 …………………………………………………………………6分
……………………………………………………………………………………10分
的分布列如下
的期望是 …………………………………12分
18.（立幾）在邊長為 的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，、N分別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為 ,構(gòu)成一個三棱錐．
（1）請判斷 與平面 的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）證明 平面 ；
（3）求二面角 的余弦值．
解：（1） 平行平面 ……………………………………………………………………1分
證明：由題意可知點(diǎn) 在折疊前后都分別是 的中點(diǎn)（折疊后 兩點(diǎn)重合）
所以 平行 …………………………………………………………………………………2分
因為 ，所以 平行平面 ………………………………………………4分
（2）證明：由題意可知 的關(guān)系在折疊前后都沒有改變
因為在折疊前 ，由于折疊后 ，點(diǎn) ，所以 …5分
因為 ，所以 平面 ……………………………………………………8分
（3）解：
所以 是二面角 的平面角. …………………………………10分
因為 ⊥ ，所以 .
在 中， ，由于 ，所以 ，
于是 ……………………………………………………13分
所以，二面角 的余弦值為 ………………………………14分
19.（數(shù)列）若正數(shù)項數(shù)列 的前 項和為 ，首項 ，點(diǎn) 在曲線 上.
（1）求 ；
（2）求數(shù)列 的通項公式 ；
（3）設(shè) , 表示數(shù)列 的前項和,若 恒成立，求 及實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解：（1）因為點(diǎn) 在曲線 上，所以 .
分別取 和 ，得到 ，
由 解得 ， .…………………………………………………………………4分
（2）由 得 .
所以數(shù)列 是以 為首項，1為公差的等差數(shù)列
所以 ， 即 …………………………………………………………6分
由公式 ，得
所以 …………………………………………………………………………………………8分
（3）因為 ，所以 ，
……………………………………………………………………10分
顯然 是關(guān)于 的增函數(shù)， 所以 有最小值 ，…………………………………12分
由于 恒成立，所以 ，…………………………………………………………………13分
于是 的取值范圍為 .……………………………14分
20．（圓錐曲線）已知點(diǎn) 的坐標(biāo)分別是 、 ，直線 相交于點(diǎn) ，且它們的斜率之積為 ．
(1)求點(diǎn) 軌跡 的方程；
(2)若過點(diǎn) 的直線 與(1)中的軌跡 交于不同的兩點(diǎn) ，試求 面積的取值范圍（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
解：（1）設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
∵ ，∴ …………………………………………………………2分
整理，得 ，這就是動點(diǎn) 的軌跡方程．……………………………………4分
（2）由題意知直線 的斜率存在，設(shè) 的方程為 ①………………………………………5分
將①代入 得：K$s5u
…………………………………………6分
由 ，解得 ……………………………………………7分
設(shè) ， ，則 ② ……………………………………………………8分
…………10分
……………11分
令 ,所以
所以 13分
所以 ………………………………………………………………………14分
21.（導(dǎo)數(shù)）已知函數(shù)
（1）當(dāng) 時，求 在 上的最小值；
（2）若函數(shù) 在 上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（3）若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
解：（1）當(dāng) ， ，……………………………………2分
于是，當(dāng) 在 上變化時， 的變化情況如下表：
（ ，1）
1（1,2）2
－0＋
單調(diào)遞減極小值0單調(diào)遞增
由上表可得，當(dāng) 時函數(shù) 取得最小值0. …………………………………………………4分
（2） ，因為 為正實(shí)數(shù)，由定義域知 ，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，因為函數(shù) 在 上為增函數(shù)，所以 ，所以 …………8分
（3）方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個相異的實(shí)根 方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個相異的實(shí)根 方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個相異的實(shí)根 函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個交點(diǎn)……………10分
考察函數(shù) ， ，在 為減函數(shù)，在 為增函數(shù)
…………………………………………………………………………………………………12分
………………………………………………13分
畫函數(shù) ， 的草圖，要使函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖象在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個交點(diǎn)，則要滿足
所以 的取值范圍為 ……………………………………14分
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