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時(shí)量：120分鐘 分值：150分 命題人；周振羽一、選擇題（本大題共1小題，每小題分，共0分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 已知集合的值為 A．1或－1或0 B．－1C．1或－1D．0，則復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.下列有關(guān)命題的敘述: ①若pq為真命題，則pq為真命題。②“”是“”的充分不必要條件。③命題P：x∈Ｒ，使得x＋x-10)是雙曲線的左焦點(diǎn)，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓x2+y2=c2交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在拋物線y2=4cx上，則該雙曲線的離心率A. B. C. D. 10.已知定義在上的函數(shù)，且， 有窮數(shù)列（）前項(xiàng)和于等于( )A．4 B．5 C．6 D． 7二 ，填空題： 本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分 ，共25分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上（一）選做題（請考生在第11.12.13三題中選兩題作答案，如果全做，則按前兩題記分 ）11．在直角坐標(biāo)系曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)點(diǎn).設(shè)直線l與曲的值為　　　　　.12. 已知函數(shù)f(x)＝x－2，若?a≠0，且a，bR，都有不等式a＋b＋a－b≥a?f(x)成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是　　　　在（的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為 ．15. 已知實(shí)數(shù)滿足，時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最值的最小值為 ．16．已知集合，對(duì)于數(shù)列中.①若三項(xiàng)數(shù)列滿足，則這樣的數(shù)列有________．②若各項(xiàng)非零數(shù)列和新數(shù)列滿足首項(xiàng)，（），且末項(xiàng)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為________．三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）寫出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的和為，求的解析式；（Ⅲ）將滿足（Ⅱ）的函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)，求圖像與軸的正半軸、y軸、直線所圍成圖形的面積。18.(本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（）；（）與平面所成角的正弦值； （）上是否存在點(diǎn)，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由． 19．（本小題滿分12分）3月1日,部分高校在湖南省城長沙舉行自主招生筆試，岳陽、長沙兩城之間開通了高速列車，假設(shè)岳陽到長沙每天8：00?9：00，9：00?10：00兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)各有一趟列車從岳陽到長沙（兩車發(fā)車情況互不影響），岳陽發(fā)車時(shí)間及其概率如下表所示 ：發(fā)車時(shí)間8:108:308:509:109:309:50概率若甲、乙兩位同學(xué)打算從岳陽到長沙參加自主招生，假設(shè)他們到達(dá)岳陽火車站候車的時(shí)間分別是周五8：00和周六8：20.（只考慮候車時(shí)間，不考慮其它因素）（1）設(shè)乙同學(xué)候車所需時(shí)間為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲、乙二人候車時(shí)間相等的概率.20. (本小題滿分1分)某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的成本為元,并且每件商品需向總店交元的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí),一年的銷售量為萬件．（Ｉ）求該連鎖分店一年的利潤（萬元）與每件商品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式（II）當(dāng)每件商品的售價(jià)為多少元時(shí),該連鎖分店一年的利潤最大,并求出的最大值．(本小題滿分1分)已知拋物線y2=2px (p>0)上點(diǎn)T(3，t)到焦點(diǎn)F的距離為4(Ⅰ)求t，p的值；(Ⅱ)設(shè)拋物線（其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(?)求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(?)過點(diǎn)P作AB的垂線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值.22. (本小題滿分1分)已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝-x2－2，（）對(duì)一切x(0, +∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（）當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在[m，m＋3]( m＞0)上的最值；（）證明：對(duì)一切x(0, +∞)，都有l(wèi)nx＋1＞成立。A C B C D D D A D B　　　二 ，填空題：11. 8 12. 0≤x≤4 13. 90o 14. -40 15. 6 16. ① ②10.【答案】B ，因?yàn)�，所以，即函�?shù)單調(diào)遞減，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即數(shù)列為首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得，選B.11．解：點(diǎn)在直線上。直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的直角坐標(biāo)方程為將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，有設(shè)兩根為，解：a＋b＋a－b≥a?f(x)及a≠0得f(x)≤恒成立，而≥＝2，則f(x)≤2，從而x－2≤2，解得0≤x≤4.有兩種情形：，這樣的數(shù)列只有個(gè)；，這樣的數(shù)列有個(gè)，所以符合題意的數(shù)列有個(gè)． （Ⅱ）因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，因?yàn)槭醉?xiàng)，所以． 根據(jù)題意有末項(xiàng)，所以， 而，于是為正奇數(shù)，且中有個(gè)和個(gè)，，要求的最大值，則要求的前項(xiàng)取，后項(xiàng)�。�所以三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）寫出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的和為，求的解析式；（Ⅲ）將滿足（Ⅱ）的函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向下平移，得到函數(shù)，求圖像與軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積。17.【答案】解（Ⅰ），（2分） ∴. 由，得. 故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是. （4分）當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的最大值與最小值的和，.（8分）由題意知 （10分） =1 （12分）18.(本小題滿分12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（）；（）與平面所成角的正弦值； （）上是否存在點(diǎn)，使// 平面？若存在，求出；若不存在，說明理由． 18. (本小題滿分12分）【答案】解：（1）證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，．因?yàn)�，所以．因�(yàn)樗倪呅螢橹苯翘菪危�，，所以四邊形為正方形，所以�?所以平面．所以 ．…………4分（2）解法1：因?yàn)槠矫嫫矫�，�?所以BC⊥平面則即為直線與平面所成的角,設(shè)BC=a，則AB=2a，，所以,則直角三角形CBE中，即直線與平面所成角的正弦值為． ……………8分解法2：因?yàn)槠矫嫫矫�，�?，所以平面，所以． 由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 因?yàn)槿�角形為等腰直角三角形，所以，設(shè)，則．所以 ，平面的一個(gè)法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，所以 ， 即直線與平面所成角的正弦值為．…8分 （3）解：存在點(diǎn)，且時(shí)，有// 平面． 證明如下：由 ，，所以．設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得．因?yàn)?，且平面，所以 // 平面． 即點(diǎn)滿足時(shí)，有// 平面．………………12分19．（本小題滿分12分）3月1日部分高校在湖南省城長沙舉行自主招生筆試，岳陽、長沙兩城之間開通了高速列車，假設(shè)岳陽到長沙每天8：00?9：00，9：00?10：00兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)各有一趟列車岳陽到長沙（兩車發(fā)車情況互不影響），岳陽發(fā)車時(shí)間及其概率如下表所示 ：發(fā)車時(shí)間8:108:308:509:109:309:50概率若甲、乙兩位同學(xué)打算從岳陽到長沙參加自主招生，假設(shè)他們到達(dá)岳陽火車站候車的時(shí)間分別是周五8：00和周六8：20.（只考慮候車時(shí)間，不考慮其它因素）（1）設(shè)乙同學(xué)候車所需時(shí)間為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲、乙二人候車時(shí)間相等的概率.19. (本小題滿分12分）解：（1）X的所有可能取值為10、 30、 50、 70、90（分鐘）...........2分其概率分布列如下X1030507090P ....6分（2）甲、乙二人候車時(shí)間分別為10分鐘、30分鐘、50分鐘的概率為 ， ，；………8分， ，………10分所以＝++＝＝，即甲、乙二人候車時(shí)間相等的概率為………12分20. (本小題滿分1分)某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的成本為元,并且每件商品需向總店交元的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí),一年的銷售量為萬件．（Ｉ）求該連鎖分店一年的利潤（萬元）與每件商品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式（II）當(dāng)每件商品的售價(jià)為多少元時(shí),該連鎖分店一年的利潤最大,并求出的最大值．解: （Ⅰ）由題得該連鎖分店一年的利潤（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為. （Ⅱ）令，得或 .①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故 ②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，故答:當(dāng)每件商品的售價(jià)為7元時(shí),該連鎖分店一年的利潤最大,最大值為萬元；當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí),該連鎖分店一年的利潤最大,最大值為萬元. (本小題滿分1分)已知拋物線y2=2px (p>0)上點(diǎn)T(3，t)到焦點(diǎn)F的距離為4(Ⅰ)求t，p的值；(Ⅱ)設(shè)拋物線（其中 O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(?)求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(?)過點(diǎn)P作AB的垂線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值.21. (本小題滿分1分)解：(Ⅰ)由已知得，所以拋物線方程為y2=4x，代入可解得.……分(Ⅱ)?)設(shè)直線AB的方程為，、 ，聯(lián)立得，則，.…………6分得：或（舍去），即，所以直線AB過定點(diǎn)；………8分?)由(?)得，同理得，則四邊形ACBD面積，令，則是關(guān)于的增函數(shù)，故.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值96. ………13分 (本小題滿分1分)已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝-x2－2，（）對(duì)一切x(0, +∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（）當(dāng)a＝－1時(shí)，求函數(shù)f(x)在[m，m＋3]( m＞0)上的最值；（）證明：對(duì)一切x(0, +∞)，都湖南省岳陽市一中屆高三第六次質(zhì)量檢測試題 數(shù)學(xué)（理） Word版含答案
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