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2013-2014學年度上學期期中考試
高二數學理試題

試卷總分：150分 考試時間：120分鐘

本試卷分第Ⅰ卷()和第Ⅱ卷(非)兩部分．共150分，考試時間120分鐘。

第 Ⅰ 卷(選擇題，共60分)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。)
1．下列命題中: ① 若A α, B α, 則AB α;② 若A α, A β, 則α、β一定相交于一條直線，設為m,且A m； ③經過三個點有且只有一個平面 ④ 若a ?b, c?b, 則a//c. 正確命題的個數（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2． 某社區(qū)有500個家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶，為了調查社會購買的某項指標，要從中抽取1個容量為100戶的樣本，記作①；某學校高一年級有12名女排運動員，要從中選出3人調查學習負擔情況，記作②。那么完成上述2項調查應采用的抽樣方法是（ ）
A ①用隨機抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法 B ①用系統(tǒng)抽樣法，②用分層抽樣法
C ①用分層抽樣法，②用隨機抽樣法 D ①用分層抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法

3．如果平面?外有兩點A、B，它們到平面?的距離都是a，則直線AB和平面?的位置關系一定是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. AB?? D. 平行或相交


4．如圖，在正四面體P－ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結論不成立的是(　 　)
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC

ξ123

P0.20.5m
5．隨機變量ξ的分布列如下表所示，則ξ的數學期望為（ ）
A 2.0 B 2.1 C 2.2 D 隨m的變化而變化

6．如圖，正方體的平面展開圖，在這個正方體中，
① 與 平行；② 與 是異面直線；③ 與 成60°的角；④ 與 垂直。
其中正確的序號是（ ）
A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③④
7．如右圖為一個幾何體的三視圖，其中
俯視圖為正三角形， ， ，
則該幾何體的表面積為( )
A . B.
C. D. 32
8．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成
一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（　　）
Ａ．1440種 Ｂ．960種 Ｃ．720種 Ｄ．480種
9．右面的程序框圖，如果輸入三個實數a、b、c，要求輸出這三個數
中最大的數，那么在空白的判斷框中，應該填入下面四個選項
中的（ ）
A. c > xB. x > cC. c > bD. b > c
10．在正四棱錐P-ABCD中，點P在底面上的射影為O，E為PC的
中點，則直線AP與OE的位置關系是( )
A．平行 B．相交 C．異面 D．都有可能
11．一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為 ，則球的半徑
是（　　）
Ａ．1　　 Ｂ． 　　 Ｃ． 　 Ｄ．2
12．已知兩個不同的平面α，β和兩條不重合的直線a，b，則下列四個命題中為正確的
命題是(　　)
A．若a∥b，b α，則a∥αB．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，則a⊥β
C．若a α，b α，a∥β，b∥β，則α∥βD．若α∥β，a α，a β，a∥α，則a∥β

第 Ⅱ 卷 (非選擇題，共90分)

二、題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將正確答案填在題中橫線上)
13．四封信投入3個不同的信箱，其不同的投信方法有 種;（用數字作答）
14．下列各數 、 、 中最小的數是 ;
15．正方體 中，對角線 與 所成角分別為α、β、 ，則 ；
16．若 的展開式中含有常數項，則最小的正整數 等于 ．（用數字作答）
三、解答題(本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17. （本小題滿分10分）對甲、乙兩名同學的學習成績進行抽樣分析，各抽 門功課，得到的觀測值如下：

問：甲、乙誰的平均成績最好？誰的各門功課發(fā)展較平衡？

18．（本小題滿分12分）在銳角 中 ，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且滿足
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的最大值。

19.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱 中， ，點 是 的中點。
（1）求證： //平面 ；
（2）求證：平面 ⊥平面 ；
（3）若 ，求二面角 的大小。


20. （本小題滿分12分）已知數列 滿足 是首項為1，公比為 的等比數列。
（1）求 ；
（2）如果 , ，求數列 的前n項和 。


21. （本小題滿分12分）從1到9的九個數字中取三個偶數四個奇數，試問：
　　 （1）能組成多少個沒有重復數字的七位數？
　　 （2）上述七位數中三個偶數排在一起的有幾個？
　　 （3）在（1）中任意兩偶數都不相鄰的七位數有幾個？

22．（本小題滿分12分）如圖所示，在棱長為2的正方體 中， 、 分別為 、 的中點．
（1）求證： //平面 ；
（2）求證： ；
（3）求三棱錐 的體積．


參考答案

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

題號123456789 101112
答案B C D D B C C B A A C D

二、題：（本大題共4小題，每題5分，共計20分）
13、 81 ； 14、 ；
15、 1 ； 16、 7 。
三、解答題。（本大題共6小題，共計70分）
17、（本小題滿分10分）
解：

∵
∴ 甲的平均成績較好，乙的各門功課發(fā)展較平衡
18、（本小題滿分12分）
解：（1）

即 …………4分
又 為銳角三角形， …………6分
（2）由（1）知

…………9分
的最大值為6�！�………12分

19、（本小題滿分12分）
解：（1）連接AC1交A1C于E，連接DE，∵AA1C1C為矩形，則E為AC1的中點。


又CD 平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B
（3） 二面角的平面角為 。
20、（本小題滿分12分）
解：（1）由 ，當n≥2時， ，
∴
①當a=1時， ;
②當a≠1時， ，
∴
（2）
…………………………………………………………①
則 ………………………………………②
①-②，得
21、（本小題滿分12分）
解：（1）分步完成：第一步在4個偶數中取3個，可有 種情況；
第二步在5個奇數中取4個，可有 種情況；
第三步3個偶數，4個奇數進行排列，可有 種情況，
所以符合題意的七位數有 個．
　　 （2）上述七位數中，三個偶數排在一起的有個．
（3）上述七位數中，偶數都不相鄰，可先把4個奇數排好，再將3個偶數分別插入5個空檔，共有 個.
22、（本小題滿分12分）

解：（1）證明：連結 ，在△ 中， 、 分別為 ， 的中點，則 ∥
又 平面 ， 平面 ∴ ∥平面 ………
（2）證明
∵ ，
∴ 平面
又 平面 ，∴ ，又 ∥ ，
∴ …………
（3）解：∵ ，∴ ⊥平面 ，即 ⊥平面 ，且
，

，
∴ ，即
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