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江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2012—2013學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高 二 數(shù) 學(xué) 試 卷 2012年11月
（注：本試卷滿分160分，考試時(shí)間120分鐘，請(qǐng)將答案寫在答題紙上）
一、題（本大題共14小題，每小題5分，計(jì)70分）
1． 命題“若 ，則 ”的否命題為 ．
2．若“ ”是“ ”的必要不充分條件，則 的最大值為 ．
3．已知直線 的斜率為 ，則其傾斜角為 ．
4．橢圓 的焦距為 ．
5．經(jīng)過(guò)點(diǎn) 且與直線 平行的直線方程是 ．
6．當(dāng) 時(shí)，直線 必過(guò)定點(diǎn) ．
7．已知點(diǎn) 和 在直線 的兩側(cè)，則實(shí)數(shù) 的取值范若圍是 ．
8．以點(diǎn) 為圓心且與直線 相切的圓的方程為 ．
9．直線 被圓 截得的弦長(zhǎng)為等于 ．
10．已知 為橢圓 的左右焦點(diǎn)，弦 過(guò) ,則 的周長(zhǎng)為 ．
11．已知圓 經(jīng)過(guò)橢圓 的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率 ．
12．拋物線 上的點(diǎn) 到焦點(diǎn) 的距離為5， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 的面積為 ．
13．若實(shí) 數(shù) 滿足 ，則 的取值范圍是 ．
14．過(guò)橢圓 的左頂點(diǎn)A的斜率為 的直線交橢圓 于另一點(diǎn) ，且點(diǎn) 在 軸上的射影為右焦點(diǎn) ,若 ，則橢圓的離心率 的取值范圍是 ．

二、解答題（本大題共6小題，計(jì)90分
15．（本題滿分14分）已知命題 ；命題 關(guān)于 的方程 在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒 有解；若 和 都是真命題,求 的取值范圍.

16．（本題滿分14分）已知三點(diǎn) 、 （－6，0）、 （6，0）.
（Ⅰ）求以 、 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、 、 關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)分別為 、 、 ，求以 、 為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn) 的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
17．（本題滿分15分）已知點(diǎn) ，直線 .求：
(1)過(guò)點(diǎn)A與 垂直的直線方程；
(2)求過(guò)點(diǎn)A的直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積的最小值及此時(shí)的直線方程．
18．（本題滿分15分）投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100t需要獎(jiǎng)金200萬(wàn)元，需場(chǎng)地2002，可獲利潤(rùn)300萬(wàn)元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100需要資金300萬(wàn)元，需場(chǎng)地1002，可獲利潤(rùn)200萬(wàn)元，現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)元，場(chǎng)地900 2，問(wèn)：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？

19．（本題滿分16分）如圖，圓弧BCD的圓心P在y軸上，直線AB切圓弧于點(diǎn)B，若A（-3，0），
C（0，2+1），D（1，0）.
（1）求曲線ABCD的方程；
（2）求曲線ABCD和 x軸圍成的圖形面積 .

20．（本題滿分16分）已知橢圓 ,過(guò)點(diǎn) 作直線 與橢圓交于 , 兩點(diǎn)．
⑴若點(diǎn) 平分線段 ，試求直線 的方程；
⑵設(shè)與滿足⑴中條件的直線 平行的直線與橢圓交于 兩點(diǎn)， 與橢圓交于點(diǎn) ， 與橢圓交于點(diǎn) ，求證： ∥


請(qǐng)將19、20題做在反面
高二數(shù)學(xué)期中試卷答案
1. 若 ，則 2.-1 3. 4.2 5. 6.（1,1） 7. 8. 9. 10. 811. 12.2 13. 14.
15. 解： , 或 .故命題p為真命題時(shí), 或 .又命題q：方程 在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒解, , .故命題q為真命題時(shí) .
= . 的取值范圍是 。
16．解：（1）由題意，可設(shè)所求橢圓的 標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0),其半焦距c=6.
2a=PF1+PF2= + = .
∴a=3 ,b2=a2-c2=45-36=9.
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
(2)點(diǎn)P（5，2）、F1（-6，0）、F2（6，0）關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別為P′(2,5)、F1′（0，-6）、F2′(0,6).
設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(a1>0,b1>0).
由題意知，半焦距c1=6,
2a1=P′F1′-P′F2′= - = .
∴a1= ,b12=c12-a12=36-20 =16.
∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
17．解: (1)直線 的斜率為 .
所以所求直線方程為: ,即 .
(2)設(shè)過(guò) 點(diǎn)的直線方程為: ,則與 軸正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 與 軸正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
根據(jù)題意有 解得 .
此時(shí),所求三角形的面積為: .
又 .
所以三角形面積的最小值為: =12.
此時(shí) .此時(shí)直線的方程為: .
18．解： 設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品 百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品 百米，利潤(rùn)為 百萬(wàn)元，則約束條件為
目標(biāo)函數(shù)為
作出可行域（如圖），將目標(biāo)函數(shù) 變形為 ，這是斜率為 ，隨 變化的一族直線， 是直線在 軸上的截距，當(dāng) 最大時(shí) 最大，但直線要與可行域相交。
由如圖知，使 取得最大值的 是兩直線 與 的交點(diǎn) ，此時(shí) ，
答：生產(chǎn)A產(chǎn)品325t，生產(chǎn)B產(chǎn)品250時(shí)，獲利最大，且最大利潤(rùn)為1475萬(wàn)元。

19．（1）設(shè)圓的方程為：x2 +（y-b）2=r2，將C、D的坐標(biāo)代入，得
（2+1-b）2=1+ b2，解得b=1，r2=2，
所以圓的方程為x2 +（y-1）2=2.
又設(shè)lAB：y=k（x+3），則3k-1k2+1=2，k2-6k-1=0 ，k=1或k=-17（舍去），
∴l(xiāng)AB：x- y +3=0.
lPB：x +y- 1=0，所以得點(diǎn)B（- 1，2）.
所以曲線ABCD的方程為：
x- y +3=0（-3≤x≤- 1）及x2 +（y-1）2=2（-1＜x≤2且0≤y≤2+1）.
（2）∵kPB= kPD =- 1，∴B、P、D三點(diǎn)共線，即BCD?為半圓，
∴曲線ABCD和x軸圍成的圖形面積= 12×4×2+π= 4+π.
解：⑴ ，則有
① 　　　　②
①－②得 ，
即 ，得
故直線 的方程為 ，即
⑵設(shè) ，且 ，
則有 ，即 ，
將點(diǎn) 的坐標(biāo)分別代入橢圓方程：
① ②
②× ①得
易知 ，故約去 得 ③
同理有 ④
由④－③得
由已知 斜率為 ，有 ，
得 ，即 ，即 ，所以 ∥

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