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談到古代數(shù)學(xué)的無(wú)窮小分割思想，人們便把目光投向古希臘的窮竭法。實(shí)際上，古希臘的數(shù)學(xué)家并沒(méi)有使用無(wú)窮小分割和極限思想，他們的分割總是有一個(gè)剩余，最后用雙重歸謬法證明已知的命題。在微積分孕育時(shí)期的面積元素法產(chǎn)生之前，真正在數(shù)學(xué)證明中使用無(wú)窮小分割和極限思想的是中國(guó)數(shù)學(xué)家，首先是劉徽，后來(lái)是祖沖之父子。

無(wú)窮小分割思想的萌芽

像古希臘思想家提出了物質(zhì)無(wú)限可分的若干命題一樣，中國(guó)在先秦也產(chǎn)生了無(wú)窮小分割的若干命題。如《莊子·天下篇》引用名家的命題：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭�！蹦�家著作《墨子·經(jīng)下》：“非半弗■則不動(dòng)，說(shuō)在端。”《經(jīng)說(shuō)下》解釋道：“非，■半，進(jìn)前取也，前則中無(wú)為半，猶端也。前后取，則端中也�！霰匕�，毋與非半，不可■也。”顯然，墨家和名家的命題是不同的。名家認(rèn)為無(wú)限分割的過(guò)程永遠(yuǎn)不會(huì)完結(jié)，類似于古希臘的潛無(wú)限；墨家認(rèn)為無(wú)限分割的結(jié)果終究會(huì)達(dá)到一個(gè)不可再割的端，是一種實(shí)無(wú)限思想。《莊子·秋水篇》借河神和北海神的對(duì)話也闡述了無(wú)窮小分割思想�！昂硬�曰：‘世之議者皆曰：“至精無(wú)形，至大不可圍�！笔切徘楹�？’北海若曰：‘夫自細(xì)視大者不盡，自大視細(xì)者不明。夫精，小之微也；?，大之殷也；故異便。此勢(shì)之有也。夫精粗者，期于有形者也；無(wú)形者，數(shù)之所不能分也；不可圍者，數(shù)之所不能窮也�！�”這里說(shuō)的至精無(wú)形、無(wú)形不能分的思想，和墨家不可■的思想接近。

漢司馬遷《史記·酷吏列傳》以“破觚而為圜”比喻漢廢除秦的嚴(yán)刑苛法。破觚為圓含有樸素的極限思想，大約是司馬遷從工匠加工圓形器物化方為圓、化直為曲的實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的。這些命題對(duì)后來(lái)數(shù)學(xué)中的無(wú)窮小分割思想有深刻影響。

劉徽的割圓術(shù)

漢代《九章算術(shù)》提出了正確的圓面積公式：“術(shù)曰：半周半徑相乘得

內(nèi)接正6邊形的周長(zhǎng)代替圓局長(zhǎng)L，以圓內(nèi)接正12邊形面積代替圓面積S，把正12邊形拼補(bǔ)成一個(gè)以正6邊形周長(zhǎng)的一半作為長(zhǎng)、圓半徑r作為寬的長(zhǎng)方形來(lái)推證上述公式的。劉徽說(shuō)這“合徑率一而外周率三也”，極不嚴(yán)格。為了真正證明圓面積公式，他創(chuàng)造了著名的割圓術(shù)。

劉徽從圓內(nèi)接正6邊形開(kāi)始割圓，依次得到圓內(nèi)接正6×2、6×22、……邊形。顯然，圓內(nèi)接正6×2n邊形的面積Sn＜S。然而，隨著分割越來(lái)越細(xì)，S－Sn越來(lái)越小，“割之又割，以至于不可割，則與圓周合體

邊和圓周之間有一段距離，稱作“余徑”，把每邊長(zhǎng)乘余徑，總和是2（Sn+1－Sn），加到Sn上，那么Sn＋2（Sn+1－Sn）＞S。然而當(dāng)n無(wú)限大時(shí)，6×2n邊形和圓周合體，表徑等于零，所謂“表無(wú)余徑，

它的上界序列和下界序列的極限都是圓面積。最后，劉徽把和圓合體的正多邊形分割成無(wú)窮多個(gè)以圓心作為頂點(diǎn)、以每邊的長(zhǎng)作為底的小等腰三角形，由于以圓的半徑乘每邊的長(zhǎng)是每個(gè)小三角形面積的二倍，求這些小三角形面積的總和，即圓半徑乘圓周長(zhǎng)，就是圓面積的二倍：Lr＝2S，所以S＝

而為圓冪，”完成了證明。

顯然，這里含有明顯的極限過(guò)程和無(wú)窮小分割并求它的總和的思想，和面積元素法十分接近。

劉徽批評(píng)了以往學(xué)者沿襲周三徑一的錯(cuò)誤，認(rèn)為上述公式中的“周徑，謂至然之?dāng)?shù)，非周三徑一之率也”。為了正確使用這一公式，必須求出這個(gè)“至然之?dāng)?shù)”，即周徑相比之率，就是現(xiàn)在所謂圓周率。劉徽從直徑2尺的圓的內(nèi)接正6邊形開(kāi)始割圓，依次求出正6×2、6×22、6×23、6×24邊形的邊長(zhǎng)和6×25邊形的面積，取圓內(nèi)接正6×25邊形面積S5的整數(shù)部

周長(zhǎng)近似值是628分，和直徑2尺相約，得周率157，徑率50，相當(dāng)于π＝

劉徽原理

《九章算術(shù)》給出了陽(yáng)馬（直角四棱錐）的體積公式

和鱉?（四面都是勾股形的四面體）的體積公式

其中a、b、h分別是長(zhǎng)、寬、高。在劉徽之前，對(duì)a＝ b＝h的特殊情形，由于一個(gè)正方體可以分解成為三個(gè)全等的陽(yáng)馬，或六個(gè)三三全等兩兩對(duì)稱的鱉?，人們?nèi)菀子闷弪?yàn)法加以證明。但是，當(dāng)a≠b≠h時(shí)，“鱉?殊形”，“陽(yáng)馬異體”，用棋驗(yàn)法“則難為之矣”。為了證明（1）、（2）式，必須另辟蹊徑。劉徽首先提出了一個(gè)重要原理：把一個(gè)塹堵（把一個(gè)長(zhǎng)方體沿相對(duì)兩棱斜剖，便得兩塹堵）分解為一個(gè)陽(yáng)馬和一個(gè)鱉?，“陽(yáng)馬居二，鱉?居一，不易之率也�！奔丛谝粋�(gè)塹堵中，恒有

Vy∶Vb＝2∶1。（3）

吳文俊氏把它稱作“劉徽原理”（見(jiàn)本書(shū)第92頁(yè)）。顯然，只要證明了劉

喻的。劉徽創(chuàng)造了如下的方法證明（3）式：

如圖，用三個(gè)互相垂直的平面分別平分塹堵的長(zhǎng)、寬、高，那么：其中的陽(yáng)馬被分割成一個(gè)小長(zhǎng)方體Ⅰ，兩個(gè)小塹堵Ⅱ、Ⅲ，兩個(gè)小陽(yáng)馬Ⅳ、Ⅴ；鱉?被分割成兩個(gè)小塹堵Ⅱ′、Ⅲ′，兩個(gè)小鱉?Ⅳ′、Ⅴ′。顯然，小塹堵Ⅱ和Ⅱ′、Ⅲ和Ⅲ′分別可以拼成和Ⅰ全等的小長(zhǎng)方體；小陽(yáng)馬Ⅳ和小鱉?Ⅳ′、小陽(yáng)馬Ⅴ和小鱉?Ⅴ′分別是兩個(gè)小塹堵，又可以拼成第四個(gè)全等的小長(zhǎng)方體。在小長(zhǎng)方體Ⅰ、Ⅱ－Ⅲ′、Ⅲ－Ⅲ′中，屬于陽(yáng)馬的和屬于鱉?的體積的比是2∶1，所謂“別種而方者率居三”，即在

其中兩小塹堵的結(jié)構(gòu)和原塹堵完全相似，所謂“通其體而方者率居一”。顯然，上述分割過(guò)程完全可以繼續(xù)在剩余的兩個(gè)小塹堵中施行，又可以證明在

之，安取余哉？”就是在整個(gè)塹堵中證明了（3）式。

劉徽之前，人們所使用的棋驗(yàn)法，無(wú)需知道陽(yáng)馬、鱉?的體積公式，并且無(wú)法證明各種多面體的一般體積公式。劉徽卻在首先解決了長(zhǎng)方體、塹堵、陽(yáng)馬、鱉?的體積公式之后，把其他多面體分割成有限多個(gè)長(zhǎng)方體、塹堵、陽(yáng)馬、鱉?，求它們的體積的和來(lái)解決這些多面體的體積問(wèn)題。劉徽說(shuō)：“不有鱉?，無(wú)以審陽(yáng)馬之?dāng)?shù)，不有陽(yáng)馬，無(wú)以知錐亭之類，功實(shí)之主也�！边@種把多面體體積理論建立在陽(yáng)馬、鱉?基礎(chǔ)上的思想，也就是建立在無(wú)窮小分割基礎(chǔ)上的思想，和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的體積理論驚人地一致。劉徽在公元三世紀(jì)就開(kāi)始考慮十九世紀(jì)困擾著高斯、希耳伯特等數(shù)學(xué)大師的課題：四面體體積的解決不借助于無(wú)窮小分割是不可能的。劉徽的貢獻(xiàn)受到1985年法國(guó)布爾巴基學(xué)派舉行的希耳伯特第三問(wèn)題學(xué)術(shù)討論會(huì)的頌揚(yáng)，是當(dāng)之無(wú)愧的。

祖?原理和球體積

唐季淳風(fēng)等注釋《九章算術(shù)》時(shí)所引祖?開(kāi)立圓術(shù)提出了一條重要原理：“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異�！本褪钦f(shuō)：同高的兩立體如果等高處的截面積恒相等，那么它們的體積一定相等�，F(xiàn)在稱它作“祖?原理”，它在西方稱卡瓦列里原理（公元1635年）。

更一般地，如果同高的兩立體等高處的截面積恒成定比，那么它們的體積必成定比。這一原理是中國(guó)古代解決體積問(wèn)題的另一重要理論，實(shí)際上是另一種形式的無(wú)窮小分割。

有證據(jù)表明，早在《九章算術(shù)》時(shí)代，人們就通過(guò)比較圓錐和方錐、圓臺(tái)和方臺(tái)的底面積，由后者推得前者的體積公式，水平大體和歐幾里得《幾何原本》的有關(guān)論述相仿佛。劉徽的認(rèn)識(shí)卻進(jìn)了一大步。他認(rèn)識(shí)到，不僅要比較底面積，而且要比較任意等高處的截面積。這在羨除術(shù)注中表述得特別清楚。他為了解決羨除（一種楔形體）的體積，需要從長(zhǎng)方錐分割出一種特殊的鱉?（仍是四面體）并求它的體積，于是劉徽提出了“上連無(wú)成不方，故方錐與陽(yáng)馬同實(shí)”的原理。“成”就是“層”，這是說(shuō)，同底等高的方錐和陽(yáng)馬每一層都是相等的方形，所以它們的體積相等。聯(lián)系到劉徽割圓時(shí)會(huì)達(dá)到不可割的境地的思想，我們認(rèn)為劉徽是把立體看成由不可再分的薄片疊合而成的，后來(lái)卡瓦列里的不可分量和這類似。正是基于這一認(rèn)識(shí)，劉徽明確提出了圓錐和外切方錐、圓臺(tái)和外切方臺(tái)的體積的比是π∶4，并指出了《九章算術(shù)》所蘊(yùn)涵的球體積公式139 的錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因在于誤以為球和它的外切圓柱的體積的比是π∶4。他用球的兩個(gè)外切圓柱體正交，它們的公共部分稱做“牟合方蓋”，指出球和外切牟合方蓋的體積的比才是π∶4。顯然，只要求出牟合方蓋的體積，那么球體積便迎刃而解。劉徽功虧一簣，未能求出牟合方蓋的體積，但是他坦誠(chéng)地記下了自己的困惑，表示“敢不闕疑，以俟能言者”，表現(xiàn)了一位偉大學(xué)者實(shí)事求是、寄希望于后學(xué)的坦蕩胸懷。

二百年后的祖?深入研究了球的外切正方體中用兩個(gè)正交圓柱切割出牟合方蓋后的剩余部分。他考慮這剩余部分的八分之一，在正方體內(nèi)而在牟合方蓋外的部分被切割成了三塊，叫作外三棋。他利用勾股定理等知識(shí)，求出外三棋的每一層的截面積的和都等于一個(gè)倒置的長(zhǎng)、寬、高都等于球半徑的陽(yáng)馬的等高處的截面積。由祖?原理，外三棋的體積等于這倒置陽(yáng)馬的體

外三棋的每一塊截面積的變化都不是線性的，然而它們同一截面的截面積的和的變化卻是線性的。祖?在應(yīng)用后來(lái)以他的名字命名的原理上比劉徽更加靈活，認(rèn)識(shí)也更加深刻。

李善蘭的尖錐求積術(shù)

劉徽、祖沖之父子之后一千多年間，我國(guó)的無(wú)窮小分割思想沒(méi)有什么新的進(jìn)展。直到清代中葉以后，明安圖在研究三角函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式時(shí)提出“析之至于無(wú)窮”的思想，項(xiàng)名達(dá)、戴煦（1805－1860）的橢圓求周的計(jì)算方法符合橢圓積分法的原則，并重新涉及這個(gè)領(lǐng)域。而最值得稱道的是李善蘭（1811－1882）于清道光二十五年（公元1845年）發(fā)表的《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對(duì)數(shù)探源》這三種關(guān)于三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的研究成果。其中的尖錐求積術(shù)提出了幾個(gè)相當(dāng)于定積分公式的命題，如“當(dāng)知諸尖錐有積疊之理”，表示當(dāng)0≤x≤h時(shí)，xn的平面積疊成一尖錐體，而由平面積axn積疊起來(lái)的尖錐體高h(yuǎn)，底面積ah2，它的

合并成為一個(gè)尖錐，相當(dāng)于定積分

　　李善蘭用尖錐求積術(shù)解決了許多問(wèn)題。以圓面積的計(jì)算為例。如圖，考慮直徑是2的圓和它的外切正方形的四分之一，分別是OAQC和OABC。方內(nèi)圓外的部分是一平面尖錐ABCQ，它由ABD、ADE、AEF、AFG、……等無(wú)限個(gè)平面尖錐組成。諸尖錐的底

…。令x＝1，上列級(jí)數(shù)的各項(xiàng)就是諸尖錐的底BD、DE、EF、……。依據(jù)尖錐求積術(shù)，方內(nèi)圓外的部分的面積是

從而圓面積是

李善蘭的尖錐求積術(shù)是在他接觸西方微積分學(xué)思想之前發(fā)明的，表明中國(guó)數(shù)學(xué)家完全有能力獨(dú)立地打開(kāi)微積分學(xué)的大門(mén)。由于種種原因，中國(guó)沒(méi)有經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程，而尖錐求積術(shù)為李善蘭不久以后和偉烈亞力合譯西方數(shù)學(xué)著作，把微積分學(xué)引入我國(guó)，作了準(zhǔn)備。