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M 第三十五章《圓》復習教案（冀教版九年級下）
設(shè)計思想：本章中，我們主要學習了點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，同時對圓的性質(zhì)、圓的切線的判定進行了探究。在探究圖形位置關(guān)系的過程中，我們對用數(shù)量關(guān)系揭示幾何圖形位置關(guān)系的思想方法有了較深的理解。本節(jié)課我們不僅要對本章知識來個總括，還要加深對題型的分析，對知識進一步掌握。
目標：
1．知識與技能
系統(tǒng)的歸納總結(jié)本章的知識內(nèi)容。
2．過程與方法
通過系統(tǒng)地歸納總結(jié)本章的知識內(nèi)容，學會整理歸納知識的方法，使其條理化、系統(tǒng)化。
3．情感、態(tài)度與價值觀
通過對圓與各種圖形位置關(guān)系的復習，認識事物之間是相互聯(lián)系的，通過運動和變化，知道事物之間可以相互轉(zhuǎn)化。
通過系統(tǒng)歸納，滲透要抓主要矛盾，“綱舉目張”的辯證唯物主義觀點。
教學重點：
系統(tǒng)的歸納總結(jié)本章知識內(nèi)容。
教學難點：
使所學的知識結(jié)構(gòu)化。
教學方法：講授式、引導式。
教學媒體：投影儀。
教學安排：１課時。
教學過程：
（一）引入
經(jīng)過一段時間的學習，第三十五章圓（二）的內(nèi)容學完了，今天我們這節(jié)課的主要任務(wù)就是回顧一下這段期間所學的內(nèi)容，將其整理歸納，使之結(jié)構(gòu)化。
（二）探究釋疑
圓是最常見的幾何圖形之一，在生活、生產(chǎn)實踐中應(yīng)用十分廣泛�！皥A”是初中幾何中重要的一章，與前面其他章節(jié)的知識也有著千絲萬縷的聯(lián)系。本章的內(nèi)容比較復雜，為了便于學生掌握這些內(nèi)容，安排這節(jié)課將本章內(nèi)容歸納整理，使之結(jié)構(gòu)化。
（三）精講點撥
教師把圖片（圓）投影，讓學生觀看。
師：同學們觀看這章的知識框架，回顧一下，你都學了那些有關(guān)圓的知識呢？（學生思考，討論探究，然后回答這個問題。學生的回答必然零散。）
本章的內(nèi)容可概括為三部分：一是點與圓的位置關(guān)系；二是直線與圓的位置關(guān)系，另外還有切線的性質(zhì)及判定；三是圓與圓的位置關(guān)系。
第一部分點與圓的位置關(guān)系：提問這部分都學了哪些內(nèi)容。（提問中下等的學生）
點與圓的位置關(guān)系分為三種：①點在圓內(nèi)；②點在圓上；③點在圓外。
總結(jié)：這三種位置關(guān)系與點到圓心的距離（d）、圓的半徑（r）之間有著緊密地聯(lián)系，這放映了“形”與“數(shù)”的內(nèi)在聯(lián)系，也就是說，點與圓的位置關(guān)系，不僅可以用圖形來表現(xiàn)，還可以由數(shù)量關(guān)系來表示。
第二部分直線與圓的位置關(guān)系：（同上）
直線與圓的位置關(guān)系有三種：①直線與圓相離；②直線與圓相切；③直線與圓相交。
設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離是d，則
①直線l與⊙O相離 d>r
②直線l與⊙O相切 d=r
③直線l與⊙O相交 d直線與圓的位置關(guān)系可用它們的交點個數(shù)來判斷，也可用直線的距離與半徑的大小來判斷，它們是一致的。
還有一部分是圓的切線的性質(zhì)與判定：
讓學生敘述：
（1）當直線與圓相切時具有如下性質(zhì)：
①切線與過切點的半徑垂直；
②經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；
③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。
（2）依據(jù)如下條件可對圓的切線進行判定：
①直線與圓只有一個交點；
②圓心到直線的距離和圓的半徑相等；
③直線就經(jīng)過半徑的外端且垂直于半徑。
第三部分是圓與圓的位置關(guān)系：
圓與圓的位置關(guān)系共五種：①兩圓外離；②兩圓外切；③兩圓相交；④兩圓內(nèi)含；⑤兩圓內(nèi)切。
設(shè)⊙O1的半徑為R，⊙O2的半徑為r，R≥r，兩圓的圓心距為d，那么
（1）兩圓外離 d>R+r；
（2）兩圓外切 d>R+r
（3）兩圓相交 R-r（4）兩圓內(nèi)切 d=R-r；
（5）兩圓內(nèi)含 d（四）典型例題
例1．如圖35-1，⊙ 與⊙ 內(nèi)切，它們的半徑分別為3和1，過 作⊙ 的切線，切點為A,則 A的長為（ ）

A．2
B．4
C．
D．
思路分析：連結(jié) ， ，得到直角三角形 A，再利用勾股定理求 A的長。
解：∵ A與⊙ 相切，
∴ ⊥ A，且 =1。
∵⊙ 與⊙ 內(nèi)切，
∴ =3-1=2
在 中，
∴
故選C。
小結(jié)：連結(jié)過切點的半徑 和兩圓的圓心距 ，構(gòu)造直角三角形達到解題目的，在圓中，有關(guān)半徑、弦長、弦心距之間的計算，常用的處理方法是利用半徑、半弦長、弦心距組成直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解。
例2．如圖35-2，已知等腰 ，以腰 為直徑作⊙O，交底邊BC于P,PE⊥AC,垂足為E。
求證：PE是⊙O的切線。

思路分析：要正PE是⊙O的切線，已知PE與⊙O有交點P，所以只要連結(jié)OP垂直于PE即可。
證明：連結(jié)OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C
∵OB=OP,∴∠B=∠OPB
∵∠OPB=∠C,∴OP∥AC
∵PE⊥AC,∴OP⊥PE
∴PE是⊙O的切線。
小結(jié)：在證明直線和圓相切時，若已知直線經(jīng)過圓上一點，常連結(jié)這點和圓心的半徑，再證所作半徑與這條直線垂直。
例3．已知點P到⊙O的最短距離是3cm，最長距離是9 cm，求⊙O半徑。
思路分析：由題意知P點在不在圓上，那么應(yīng)有兩種情況：P點在圓內(nèi)或P點在圓外。

解：（1）當點P在圓內(nèi)時，如圖35-3， ， ，則
∴⊙O的半徑是6cm。

（2）當點P在圓外時，如圖35-4， ， ，則
∴⊙O的半徑是3cm。
答：⊙O的半徑是6cm或3 cm。
小結(jié)：圓的兩解問題一般都沒有給出圖形，解答的關(guān)鍵是全面分析題設(shè)條件，畫出符合題意的所有圖形，再分別求解。
例4．如圖35-5，以 的一條直角邊 為直徑作⊙O，交斜邊BC于E，F(xiàn)是AC的中點。
求證：EF是⊙O的切線。
思路分析：連續(xù)OE，因為EF過半徑OE的外端，要判斷EF是⊙O的切線，需證明∠OEF= ,

證明：連結(jié)OE、AE
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB= ,∠AEC=
∵FE=FA
∴∠1=∠2
∵OE= AE,
∴∠3=∠4
∵∠1+∠3=∠2+∠4= ,即∠OEF= ，
∴EF是⊙O的切線。
小結(jié)：連結(jié)OE，是為了構(gòu)造切線的基本圖形，以便證明OE⊥OF。
例5．如圖35-6，⊙O的半徑為5，P為OE外一點，OP=8cm。求：（1）以P為圓心作⊙P與⊙O相切，則⊙P半徑是多少？（2）當⊙P與⊙O相交時，⊙P的半徑的取值范圍是多少？

思路分析：（1）相切有兩種可能，即外切與內(nèi)切。
（2）⊙P與⊙O相交時，則有r-5<8解：（1）當⊙P與⊙O外切時，有5+r=8,r=3（cm）。
當⊙P與⊙O內(nèi)切時，有r-5=8,r=13（cm）
所以當r=3cm或13cm時，⊙P與⊙O相切。
（2）當⊙P與⊙O相交時，有
r-5<8解得3即當3cm小結(jié)：兩圓相切包含兩圓外切與兩圓內(nèi)切，兩圓外切與內(nèi)切對應(yīng)的關(guān)系式分別是d=R+r和d=R-r（R>r），它們起著分界作用，分別是外離與相交、相交與內(nèi)含的分界點。
例6．如圖35-7，海中小島A，它周圍20海里內(nèi)有暗礁，一漁船跟蹤漁群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上，航行30海里到達C點，這時小島A在北偏東 方向上，如果漁船不改變方向，繼續(xù)向東追蹤捕撈，有沒有觸礁的危險？
思路分析：如果把漁船的航線看作直線，暗礁看作以點A為圓心，20海里為半徑的圓及圓的內(nèi)部，漁船是否觸礁，關(guān)鍵是看航線是否經(jīng)過暗礁區(qū)，即看直線與圓是哪一種位置關(guān)系。

解：過點A做AD⊥BC于D
由題意可知
∵
∴ （海里）
在 中， ，即
∴ 海里 海里。
∴漁船無觸礁危險。
小結(jié)：通過分析聯(lián)想，把實際問題與所學知識有機聯(lián)系，建立數(shù)學模型是解題的關(guān)鍵。
例7．小明要在半徑為1m ,圓心角為60°的扇形鐵皮上剪取一個面積盡可能大的正方形鐵皮，小明在扇形鐵皮上設(shè)計了如圖35-8的甲、乙兩種方案，請你幫小明計算一下，按甲、乙兩種方案剪取的正方形的面積，并估算哪個正方形的面積較大。（估算時， 取1.73，結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）

思路分析：要比較甲、乙兩種方案剪取的正方形面積的大小，關(guān)鍵在于求出每個正方形的邊長。
解：方案甲：連接 ，設(shè) ，則 。
在 中， ，
即
解得
方案乙：作 ⊥ 于 ，交 與 則 分別是 和 的中點， ，連結(jié) 。
設(shè) ，則 在 中，

∴
若取 ，則
∴ ，即按甲方案剪得的正方形面積較大。
小結(jié)：通過學習本專題，進一步體會數(shù)學來源于實踐，又應(yīng)用于實踐，逐漸提高分析問題、解決實際問題的能力。
板書設(shè)計：
圓（二）

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