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2．雙曲線圖象上的點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，在 >0時(shí)函數(shù)的圖象關(guān)于 直線 軸對(duì)稱；在 <0時(shí)函數(shù)的圖象關(guān)于直線 軸對(duì)稱．
3．自變量的取值是不等于零的全體實(shí)數(shù)，雙曲線向坐標(biāo)軸無限延伸但不能接近坐標(biāo)軸．
【例題求解】
【例1】 已知反比例函數(shù) 的圖象與直線 和 過同一點(diǎn)，則當(dāng) 時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值 隨 的增大而 (填增大或減小)．

思路點(diǎn)撥 確定 的值，只需求出雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

注：(1)解與反比函數(shù)相關(guān)問題時(shí)，充分考慮它的對(duì)稱性(關(guān)于原點(diǎn)O中心稱，關(guān)于 軸對(duì)稱)，這樣既能從整上思考問題，又能提高思維的周密性．
(2)一個(gè)常用命題：
如圖，設(shè)點(diǎn)A是反比例函數(shù) ( )的圖象上一點(diǎn)，過A作AB⊥ 軸于B，過A作AC⊥ 軸于C，則
①S△AOB= ；
②S 矩形OBAC= ．
【例2】 如圖，正比例函數(shù) ( )與反比例函數(shù) 的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過A作AB⊥ 軸于B，連結(jié)BC，若S△ABC的面積為S， 則( )
A．S=1 B．S =2 C．S= D．S =


思路點(diǎn)撥 運(yùn)用雙曲線的對(duì)稱性，導(dǎo)出S△AOB與S△OBC的關(guān)系．

【例3】 如圖，已知一次函數(shù) 和反比例函數(shù) ( )的圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B．
(1)求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
(2)若△AOB面積S＝24，求 的值．
(2003年荊門市中考題)
思路點(diǎn)撥 (1)兩圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，即聯(lián)立方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解；
(2)S△AOB= S△COB S- S△COA，建立 的方程．



【例4】 如圖，直線 分別交 、 軸于點(diǎn)A、C，P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PB⊥ 軸于B，S△ABP=9．
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)R與點(diǎn)P在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)R在直線PB的右側(cè)，作PT⊥ 軸于F，當(dāng)△BRT與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．
思路點(diǎn)撥 (1)從已知的面積等式出發(fā)，列方程求P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以三角形相似為條件，結(jié)合線段長與坐標(biāo)的關(guān)系求R坐標(biāo)，但要注意分類討論．




【例5】 如圖，正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在 軸上，點(diǎn)C在 軸上， 點(diǎn)B在函數(shù) ( ， )的圖象上，點(diǎn)P( ， )是函數(shù) ( ， )的圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作 軸、 軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S．
(1)求B點(diǎn)坐標(biāo)和 的值；
(2)當(dāng) 時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．

思路點(diǎn)撥 把矩形面積用坐標(biāo)表示，A、B坐標(biāo)可求，S矩形OAGF可用含 的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是雙曲線關(guān)于 對(duì)稱，符合題設(shè)條件的P點(diǎn)不惟一，故思考須周密．


注：求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般通過解這兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組得到，求符合某種條件
的點(diǎn)的坐標(biāo)，需根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系和幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于縱 橫坐標(biāo)的方程(組)，解方程(組)便可求得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于幾何問題，還應(yīng)注意圖形的分類討論．


學(xué)歷訓(xùn)練
1．若一次函數(shù) 的圖象如圖所示，則拋物線 的對(duì)稱軸位于y軸的
側(cè)；反比例函數(shù) 的圖象在第 象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而 ．


2．反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(m，n)，其中m，n是一元二次方程 的兩個(gè)根，則A點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
3．如圖：函數(shù) （ ≠0）與 的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥ 軸，垂足為點(diǎn)C，則△BOC的面積為


4．已知，點(diǎn)P(n，2n)是第一象限的 點(diǎn)，下面四個(gè)命題：
(1)點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P1的坐標(biāo)是(n，-2n)； (2)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離是 n；(3)直線 y=-nx+2n不經(jīng)過第三象限；(4)對(duì)于函數(shù)y= ，當(dāng)x＜0時(shí),y隨x的增大而減��；其中真命題是 .(填上所有真命題的序號(hào))

5．已知反比例函數(shù)y= 的圖像上兩點(diǎn)A(x1，y1)、B（x2，y2），當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，有y1＜y2 ,則m的取值范圍是( )
A．m＜O B．m＞0 C. m＜ D.m＞

6．已知反比例函數(shù) 的圖象如圖所示，則二次函數(shù) 的圖象大致為( )


7．已知反比例函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，y 隨x的增大面增大，那么一次函數(shù) 的圖象經(jīng)過( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

8．如圖，A、B是函數(shù) 的圖象上的點(diǎn)，且A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，AC⊥ 軸于C，BD⊥ 軸于D，如果四邊形ACB D的面積為S，那么( )
A． S＝1 B．12 D．S＝2

9．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠O)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖像在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足為D．若OA=OB=OD=l．
（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；
（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．

10．已知A(x1、y1)，B( x2，y2)是直線 與雙曲線 ( )的兩個(gè)不同交點(diǎn)．
(1)求 的取值范 圍；
(2)是否存在這樣 的值，使得 ?若存在，求出這樣的 值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

11．已知反比例函數(shù) 和一次函數(shù)y＝2x-1，其中一次函數(shù)圖像經(jīng)過(a，b)，(a+1，b+k)兩點(diǎn)．
(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)如圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖像上，求A點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)利用(2)的結(jié)果，請(qǐng)問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使ΔAOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由.

12．反比例函數(shù) 的圖象上有一點(diǎn)P(m，n)，其中m、n是關(guān)于t的一元二次方程 的兩根，且P到原點(diǎn)O的距離為 ，則該反比例函數(shù)的解析式為 ．
13．如圖，正比例函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) ( )的圖象交于點(diǎn)A，若 取1，2，3…20，對(duì)應(yīng)的Rt△AOB的面積分別為S1，S2，…，S20，則S1+S2+…+S20= ．

14．老師給出一個(gè)函數(shù)y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：
甲：函數(shù)圖像不經(jīng)過第三象限；
乙：函 數(shù)圖像經(jīng)過第一象限；
丙：當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��；
丁：當(dāng)x＜2時(shí)，y＞0
已知這四位同學(xué)敘述都正確，請(qǐng)構(gòu)造出滿足上述所有性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)： ．

15．已知反比例函數(shù) 的圖象和一次函數(shù) 的圖象都經(jīng)過點(diǎn)P(m，2)．
(1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；
(2)如果等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B在這個(gè)一次函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)C、D在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，兩底AD、BC與 軸平行，且A、B的橫坐標(biāo)分別為 和 ，求 的值．
16．如圖，直線經(jīng)過A(1，0)，B(0，1)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線 ( )上任意一點(diǎn)，PM⊥ 軸，PN⊥ 軸，垂足分別為M，N．PM與直線AB交于點(diǎn)E，PN的延長線與直線AB交于點(diǎn)F．
(1)求證：AF×BE＝1；
(2)若平行于AB的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)的坐標(biāo)．
(2003年江漢油田中考題)

17．已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，其中x>0，y>0．
(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出自變量x的取值范圍；
(2)用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問題：
方法：∵ (k為常數(shù)且k>0，a≠0)，且
∴． ．
∴當(dāng) =0，即 時(shí)， 取得最小值2k．
問題：當(dāng)點(diǎn)A在何位置時(shí)，矩形ABCD的外接圓面積 S最小?并求出S的最小值；
(3)如果直線y=mx+2(m<0)與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，那么是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得點(diǎn)P、Q與(2)中求出的點(diǎn)A構(gòu)成△PAQ的面積是矩形ABCD面積的 ?若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．



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