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第十三講 從勾股 定理談起
勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，大約在公元前1100多年前，商高已經(jīng)證明了普通意義下的勾股定理，在國外把勾股定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”．
勾股定理是平面幾何中一個重要定理，其廣泛的應(yīng)用體現(xiàn)在：勾股定理是現(xiàn)階段線段計算、證明線段平方關(guān)系的主要方法，運用勾股 定理的逆定理，通過計算也是證明兩直線垂直位置關(guān)系的一種 有效手段．
直角三角形是一類特殊三角形，有著豐富的性質(zhì)：兩銳角互余(角的關(guān)系)、勾股定理(邊的關(guān)系)，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半(邊角關(guān)系)，這些性質(zhì)在求線段的長度、證明線段倍分關(guān)系、證明線段平方關(guān)系等方面有廣泛的應(yīng)用．
例題求解
【例1】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊△ABD，連結(jié)DC，以DC為邊作等邊△DCE，B、E在CD的同側(cè)，若AB= ，則BE= ．
(重慶市中考題)
思路點撥 因BE不是直 角三角形的邊，故不能用勾股定理直接計算，需找出與BE相等的線段轉(zhuǎn)化問題．
注 千百年來，勾股定理的證明吸引著數(shù)學(xué)愛好者，目前有400多種證法，許多證法的共同特點是通過弦圖的割補、借助面積加以證明，美國第20任總統(tǒng)加菲爾德(1831—1881)曾給出一個簡單證法．
勾股定理的發(fā)現(xiàn)是各族人民早期文明的特征，有人建議，將來與“外星人”交往，可以把勾股定理轉(zhuǎn)化為光電訊號，傳向異域，他們一定懂得勾股定理．
現(xiàn)已確定的2002年8月在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)來源于弦圖的圖案．

【例2】 2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)取 材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示)．如果 大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊為a，較長直角邊為b，那么(a+b)2的值為( )
A．13 B ．19 C．25 D．169
(山東省中考題)
思路點撥 利用勾股定理、面積關(guān)系建立a、b的方程組．
【例3】 如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC＝2PB， 已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求∠ACB的度數(shù)．
(“祖沖之杯”邀請賽試題)
思路點撥 不可能簡單地由角的關(guān)系推出∠ACB的度數(shù)，解本例的關(guān)鍵是由條件構(gòu)造出含30°角的直角三角形．


【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，設(shè)AC＝b，BC＝a，AB=c，CD=h．
求證：（1） ；
(2) ；
(3) 以 、 、 為邊的三角形，是直角三角形．
思路點撥 (1)只需證明 ，從左邊推導(dǎo)到右邊；（2）證明( ；(3)證明 ．在證明過程中，注意面積關(guān)系式 的應(yīng)用．
【例5】 一個直角三角形的邊長都是整數(shù)，它的面積和周長的數(shù)值相等，這樣的直角三角形是否存在?若存在，確定它三邊的長，若不存 在，說明理由．
(北京市競賽題)
思路點撥 假設(shè)存在符合條件的直角三角形，它的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則 ，于是將存在性問題的討論轉(zhuǎn)化為求方程組的解．
注 當(dāng)勾股定理不能直接運用時，常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運用創(chuàng)造必要的條件，有時又需要由線段的數(shù)量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系， 這就需要熟悉一些常用的勾股數(shù)組．
從代數(shù)角度，考察方程 的正整數(shù)解，古代中國人發(fā)現(xiàn)了“勾三股，四弦五”，古希臘人找到了這個方程的全部整數(shù)解（用代數(shù)式表示的勾股數(shù)組）．
17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家費爾馬提出猜想：當(dāng) ≥3時，方程 無正整數(shù)解．
1994年，曼國普林斯頓大學(xué)維爾斯教授歷盡艱辛證明了這個猜想，被譽為20世紀(jì)最偉大的成果．
一般地，在有等邊三角形、正 方形的條件下，可將圖形旋轉(zhuǎn)60°或90°，旋轉(zhuǎn)過程中角度、線段的長度保持不變，在新的位置上分散的條件相對集中，以便挖掘隱含條件，探求解題思路．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ACD沿AD對折，點C落在點C′的位置，則BC′與BC之間的數(shù)量關(guān)系是 ．(山西省中考題)
2．如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP'重合，若AP＝3，則PP′的長等于 ．
3．如圖，已知AB=13，BC=14，AC=15，AD⊥BC于D，則AD= ．
(武 漢市選拔賽試題)
4．如圖，四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC=4cm，CD=12?，DA=13cm，且∠ABC=90°，則四邊形ABCD的面積是 cm2．
5．如圖，一個長為10米的梯子，斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么，梯子底端的滑動距離( )
A．等于1米 B．大于l米 C．小于l米 D．不確定
(寧波市中考題)

6．如果一個三角形的一條邊是另一條邊的2倍，并且有一個角是30°，那么這個三角形的形狀是( )
A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．不能確定
7．在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D＝90°，BC=2，CD=3，則AB=( )

8．在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了AB，CD，EF，GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是( )
A．CD，EF，GH B．AB，CD，EF C．AB，CD，GH D．AB，EF，GH
(北京市競賽題)
9．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：(1)使三角形的三邊長分別為3，2 ， ；(2)使三角形為鈍角三角形且面積為4．
(吉林省中考題)
10．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，求證：CM=2BM．
(南道市中考題)
11．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC中點，DE⊥DF，求證： ．


12．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=13，邊BC上的中線AD=6，則BC的長為 ．
(湖北省預(yù)賽試題)
13．如圖，設(shè)P是等邊△ABC內(nèi)的一點，PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB的度數(shù)是 ．
14．如圖，一個直角三角形的三邊長均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長恰是1997，那么另一條直角邊的長為 ．

15．若△ABC的三邊a、b、c滿足條件： ，則這個三角形最長邊上的高為 ．
16．在銳角△ABC中，已知某兩邊a=1，b=3，那么第三邊的變化范圍是( )
A．2 (“祖沖之杯”邀請賽試題)
17．如圖，用3個邊長為l的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( )
A． B． C． D．
(天津市競賽題)


18．△ABC三邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，這三邊的高依次為 、 、 ，若a≤ ，b≤，則這個三角形為( )
A．等邊三角形 B．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
(武漢市選拔賽試題)
19．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，則CF與CB的大小關(guān)系是( )
A． CF>GB B． CF＝GB C．GF20．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜邊BC的中點，F(xiàn)、F分別是AB、AC邊上的點，且DF⊥DF，若BE=12，CF=5，求△DEF的面積．
21．如圖，在△ABC中，AB=AC，(1)若P是BC邊上的中點，連結(jié)AP，求證：BP×CP=AB2一AP2；(2)若P是BC邊上任意一點，上面的結(jié)論還成立嗎?
若成立，請證明，若不成立，請說明理由；(3)若P是BC邊延長線上一點，線段AB、AP、BP、CP之間有什么樣的關(guān)系?請證明 你的結(jié)論．


22．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，E、F分別是BC上兩點，若∠EAF=45°，試推斷BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
23．如圖，∠ACB=90°，AD是∠CAB 的平分線，BC=4，CD= ，求AC的長．
(河南省競賽題)


24．(1)四年一度的國際數(shù)學(xué)家大會于2002年8月20日在北京召開．大會會標(biāo)如圖甲．它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．
若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，求中間小正方形的面積．
(2)現(xiàn)有一張長為6.5cm．寬為2?的紙片，如圖乙，請你將它分割成6塊，再拼合成一個正方形．(要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù))
(煙臺市中考題)
25．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD，求證：BD2=AB2+BC2．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://douzifanli.com/chuer/56947.html

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